2012年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 若复数z 满足zi = 1 −i, 则z 等于 ( ) 5分
   A. −1 −i B. 1 −i C. −1 + i D. 1 + i
2. 2. 等差数列{an} 中, a1 + a5 = 10, a4 = 7, 则数列{an} 的公差为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 3. 下列命题中, 真命题是 ( ) 5分
   A. ∃x0 ∈R, ex0 ⩽0 B. ∀x ∈R, 2x > x2 C. a + b = 0 的充要条件是a B. = −1 D. a > 1, b > 1 是ab > 1 的充分条件
4. 4. 一个几何体的三视图形状都相同, 大小均相等, 那么这个几何体不可以 是 ( ) 5分
   A. 球 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 圆柱
5. 5. 下列不等式一定成立的是 ( ) ( x2 + 1 4 ) > lg x (x > 0) 1 sin x ⩾2 (x̸ = kπ, k ∈Z) (D) 1 x2 + 1 > 1 (x ∈R) 5分
   A. lg B. sin x + C. x2 + 1 ⩾2|x| (x ∈R)
6. 6. 如图所示, 在边长为1 的正方形OABC 中任取一点P, 则点P 恰好取自 阴影部分的概率为 ( ) x y A B C O 1 y = √x 1 4 5 6 7 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
7. 7. 设函数D (x) = { 1, x 为有理数, 0, x 为无理数, 则下列结论错误的是 ( ) 5分
   A. D (x) 的值域为{0, 1} B. D (x) 是偶函数 C. D (x) 不是周期函数 D. D (x) 不是单调函数
8. 8. 已知双曲线x2 4 −y2 b2 = 1 的右焦点与抛物线y2 = 12x 的焦点重合, 则该双 曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( ) (A) √ 5 √ 2 5分
   B. 4 C. 3 D. 5
9. 9. 若函数y = 2x 图象上存在点(x, y) 满足约束条件        x + y −3 ⩽0, x −2y −3 ⩽0, x ⩾m, 则实 数m 的最大值为 ( ) 2 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 2
10. 10. 函数f (x) 在[a, b] 上有定义, 若对任意x1, x2 ∈[a, b], 有f (x1 + x2 2 ) ⩽ 1 2 [f (x1) + f (x2)], 则称f (x) 在[a, b] 上具有性质P. 设f (x) 在[1, 3] 上 具有性质P, 现给出如下命题: ①f (x) 在[1, 3] 上的图象是连续不断的; ②f (x2) 在 [ 1, √ 3 ] 上具有性质P; ③若f (x) 在x = 2 处取得最大值1, 则f (x) = 1, x ∈[1, 3]; ④对任意x1, x2, x3, x4 ∈[1, 3], 有f (x1 + x2 + x3 + x4 4 ) ⩽1 4[f (x1) + 其中真命题的序号是 ( ) 5分
    F. (x2) + f (x3) + f (x4)]. A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. . 5分
   A. + x)4 的展开式中x3 的系数等于8, 则实数a =
2. 2. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的s 值等于 . 开始 k = 1, s = 1 k = k + 1 s = 2s −k k < 4? 输出s 结束 否 是 5分
3. 3. 已知△ABC 的三边长成公比为 √ 2 的等比数列, 则其最大角的余弦值 为 . 5分
4. 4. 数列{an} 的通项公式an = n cos nπ 2 + 1, 前n 项和为Sn, 则 S2012 = . 5分
5. 5. 对于实数a 和b, 定义运算“∗”: a ∗b = { a2 −ab, b2 −ab, 设f (x) = (2x −1) ∗(x −1), 且关于x 的方程f (x) = m (m ∈R) 恰有三个互不相等 的实数根x1, x2, x3, 则x1x2x3 的取值范围是 . 5分
   A. ⩽b, A. > b.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与该轿 车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车, 保修 期均为2 年. 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50 辆, 统计数 据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障的时间x (年) 0 < x ⩽1 1 < x ⩽2 x > 2 0 < x ⩽2 x > 2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率, 解答下列问题: (1) 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆, 求其首次出现故障发生在 保修期内的概率; (2) 若该厂生产的轿车均能售出, 记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1, 生 产一辆乙品牌轿车的利润为X2, 分别求X1, X2 的分布列; (3) 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当, 由于资金限制, 只能生产其中 一种品牌的轿车. 若从经济效益的角度考虑, 你认为应生产哪种品牌的轿 车? 请说明理由.
2. 2. 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数: ①sin2 13◦+ cos2 17◦−sin 13◦cos 17◦; ②sin2 15◦+ cos2 15◦−sin 15◦cos 15◦; ③sin2 18◦+ cos2 12◦−sin 18◦cos 12◦; ④sin2 (−18◦) + cos2 48◦−sin (−18◦) cos 48◦; ⑤sin2 (−25◦) + cos2 55◦−sin (−25◦) cos 55◦. (1) 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数; (2) 根据(1) 的计算结果, 将该同学的发现推广为三角恒等式, 并证明你的 结论. 729
3. 3. 如图, 在长方体ABCD −A1B1C1D1 中, AA1 = AD = 1, E 为CD 的中 点. (1) 求证: B1E ⊥AD1; (2) 在棱AA1 上是否存在一点P, 使得DP 平面B1AE? 若存在, 求AP 的长; 若不存在, 请说明理由; (3) 若二面角A −B1E −A1 的大小为30◦, 求AB 的长. B C D E A B1 C1 D1 A1
4. 4. 如图, 椭圆E: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F1, 右焦点为F2, 离 心率e = 1 2, 过F1 的直线交椭圆于A、B 两点, 且△ABF2 的周长为8. (1) 求椭圆E 的方程; (2) 设动直线l: y = kx + m 与椭圆E 有且只有一个公共点P, 且与直线 x = 4 相交于点Q. 试探究: 在坐标平面内是否存在定点M, 使得以PQ 为直径的圆恒过点M? 若存在, 求出点M 的坐标; 若不存在, 请说明理由. x y O A B F1 F2
5. 5. 已知函数f (x) = ex + ax2 −ex, a ∈R. (1) 若曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线平行于x 轴, 求函数f (x) 的 单调区间; (2) 试确定a 的取值范围, 使得曲线y = f (x) 上存在唯一的点P, 曲线在 该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
6. 6. 三选二. 【A】设曲线2x2 + 2xy + y2 = 1 在矩阵A = ( a 0 b 1 ) 作用下得到的曲线为x2 + y2 = 1. (1) 求实数a, b 的值; (2) 求A2 的逆矩阵. 【B】在平面直角坐标系中, 以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系. 已知直线l 上两点M, N 的极坐标分别为(2, 0), ( 2 √ 3 3 , π 2 ) , 圆C 的参数方程为 { x = 2 + 2 cos θ, y = − √ 3 + 2 sin θ, (θ 为参数). (1) 设P 为线段MN 的中点, 求直线OP 的平面直角坐标方程; (2) 判断直线l 与圆C 的位置关系. 【C】已知函数f (x) = m −|x −2|, m ∈R, 且f (x + 2) ⩾0 的解集为 [−1, 1]. (1) 求m 的值; (2) 若a, b, c ∈R+, 且1 2b + 1 3c = m, 求证: a + 2b + 3c ⩾9. 730

原卷配图（含真实几何/应用题图示）