2012年辽宁（文科）

本卷为官方高考数学真题（2012年辽宁（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知向量a = (1, −1), b = (2, x). 若a · b = 1, 则x = ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. −1 C. 1 D. 1
2. 2. 已知全集U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 集合A = {0, 1, 3, 5, 8}, 集合B = {2, 4, 5, 6, 8}, 则 ( ∁UA ) ∩ ( ∁UB ) = ( ) 5分
   A. {5, 8} B. {7, 9} C. {0, 1, 3} D. {2, 4, 6}
3. 3. 复数 1 1 + i = ( ) 2 −1 2i 2 + 1 2i 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 −i D. 1 + i
4. 4. 在等差数列{an} 中, 已知a4 + a8 = 16, 则a2 + a10 = ( ) 5分
   A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
5. 5. 已知命题p: ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩾0, 则¬p 是 ( ) 5分
   A. ∃x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩽0 B. ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩽0 C. ∃x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) < 0 D. ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) < 0
6. 6. 已知sin α −cos α = √ 2, α ∈(0, π), 则tan α = ( ) √ 2 2 (C) √ 2 2 5分
   A. −1 B. − D. 1
7. 7. 将圆x2 + y2 −2x −4y + 1 = 0 平分的直线是 ( ) 5分
   A. x + y −1 = 0 B. x + y + 3 = 0 C. x −y + 1 = 0 D. x −y + 3 = 0
8. 8. 函数y = 1 2x2 −ln x 的单调递减区间为 ( ) 5分
   A. (−1, 1] B. (0, 1] C. [1, +∞) D. (0, +∞)
9. 9. 设变量x, y 满足        x −y ⩽10, 0 ⩽x + y ⩽20, 0 ⩽y ⩽15, 则2x + 3y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 20 B. 35 C. 45 D. 55
10. 10. 执行如图所示的程序框图, 则输出的S 值是 ( ) 2 3 开始 S = 4 i = 1 i < 6 S = 2 2 −S i = i + 1 输出S 结束 是 否 5分
    A. 4 B. 3 C. 2 D. −1
11. 11. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形, 邻边长分别等于线 段AC, CB 的长, 则该矩形面积大于20 cm2 的概率为 ( ) 6 3 3 5 5分
    A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
12. 12. 已知P, Q 为抛物线x2 = 2y 上两点, 点P, Q 的横坐标分别为4, −2, 过 P, Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于点A, 则点A 的纵坐标为 ( ) 5分
    A. 1 B. 3 C. −4 D. −8

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 . 1 1 1 2 1 0.5 2 0.5 5分
2. 2. 已知等比数列{an} 为递增数列. 若a1 > 0, 且2 (an + an+2) = 5an+1, 则 数列{an} 的公比q = . 5分
3. 3. 已知双曲线x2 −y2 = 1, 点F1, F2 为其两个焦点, 点P 为双曲线上一点. 若PF1 ⊥PF2, 则|PF1| + |PF2| 的值为 . 5分
4. 4. 已知点P, A, B, C, D 是球O 表面上的点, PA ⊥平面ABCD, 四边 形ABCD 是边长为2 √ 3 的正方形. 若PA = 2 √ 6, 则△OAB 的面积 为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 角A, B, C 成等差数列. (1) 求cos B 的值; (2) 若边a, b, c 成等比数列, 求sin A sin C 的值.
2. 2. 如图, 直三棱柱ABC −A′B′C′, ∠BAC = 90◦, AB = AC = √ 2, AA′ = 1, 点M, N 分别为A′B 和B′C′ 的中点. (1) 证明: MN 平面A′ACC′; (2) 求三棱锥A′ −MNC 的体积. (锥体体积公式V = 1 3Sh, 其中S 为底 面面积, h 为高) A C B A′ M N C′ B′ 753
3. 3. 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调查, 其中女性有55 名. 下面是根据调查结果绘制的观众 日均收看该体育节目时间的频率分布直方图: 频率 组距 0 分钟 0.010 0.018 0.022 0.025 0.020 0.005 10 20 30 40 50 60 将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”. (1) 根据已知条件完成下面的2 × 2 列联表, 并据此资料你是否认为“体育 迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 (2) 将日均收看该体育节目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”, 已知 “超级体育迷”中有2 名女性. 若从“超级体育迷”中任意选取2 人, 求至少有 1 名女性观众的概率. 附: χ2 = n (n11n22 −n12n21)2 n1+n2+n+1n+2 , P (χ2 ⩾k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 .
4. 4. 如图, 动圆C1: x2 + y2 = t2, 1 < t < 3, 与椭圆C2: x2 9 + y2 = 1 相交于A, B, C, D 四点, 点A1, A2 分别为C2 的左, 右顶点. (1) 当t 为何值时, 矩形ABCD 的面积取得最大值? 并求出其最大面积; (2) 求直线AA1 与直线A2B 交点M 的轨迹方程. x y O A B C D A2 A1
5. 5. 设f (x) = ln x + √x −1, 证明: (1) 当x > 1 时, f (x) < 3 2 (x −1); (2) 当1 < x < 3 时, f (x) < 9 (x −1) x + 5 .
6. 6. 如图, ⊙O 和⊙O′ 相交于A, B 两点, 过A 作两圆的切线分别交两圆于C, (1) AC · BD = AD · AB; (2) AC = AE. A B E O O′ D C • •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 圆C1: x2 + y2 = 4, 圆C2: (x −2)2 + y2 = 4. (1) 在以O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆C1、 C2 的极坐标方程, 并求出圆C1, C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2) 求圆C1 与C2 的公共弦的参数方程.
8. 8. 已知 = |ax + 1| 不等式 ⩽ 3 的解集为 {x | −2 ⩽x ⩽1}. (1) 求a 的值; (2) 若 (x 2 ) ⩽k 恒成立, 求k 的取值范围. 754

原卷配图（含真实几何/应用题图示）