2012年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年辽宁（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知全集U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 集合A = {0, 1, 3, 5, 8}, 集合B = {2, 4, 5, 6, 8}, 则 ( ∁UA ) ∩ ( ∁UB ) = ( ) 5分
   A. {5, 8} B. {7, 9} C. {0, 1, 3} D. {2, 4, 6}
2. 2. 复数2 −i 2 + i = ( ) 5 −4 5i 5 + 4 5i 5i 5i 5分
   A. 3 B. 3 C. 1 −4 D. 1 + 3
3. 3. 已知两个非零向量a, b 满足|a + b| = |a −b|, 则下面结论正确的是( ) b 5分
   A. a B. a ⊥b C. |a| = |b| D. a + b = a −b
4. 4. 已知命题p: ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩾0, 则¬p 是 ( ) 5分
   A. ∃x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩽0 B. ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) ⩽0 C. ∃x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) < 0 D. ∀x1, x2 ∈R, (f (x2) −f (x1)) (x2 −x1) < 0
5. 5. 一排9 个座位坐了3 个三口之家, 若每家人坐在一起, 则不同的坐法种数 为 ( ) 5分
   A. 3 × 3! B. 3 × (3!)3 C. (3!)4 D. 9!
6. 6. 在等差数列{an} 中, 已知a4 + a8 = 16, 则该数列前11 项和S11 = ( ) 5分
   A. 58 B. 88 C. 143 D. 176
7. 7. 已知sin α −cos α = √ 2, α ∈(0, π), 则tan α = ( ) √ 2 2 (C) √ 2 2 5分
   A. −1 B. − D. 1
8. 8. 设变量x, y 满足        x −y ⩽10, 0 ⩽x + y ⩽20, 0 ⩽y ⩽15, 则2x + 3y 的最大值为 ( ) 5分
   A. 20 B. 35 C. 45 D. 55
9. 9. 执行如图所示的程序框图, 则输出的S 值是 ( ) 2 3 开始 S = 4 i = 1 i < 9 S = 2 2 −S i = i + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. −1 B. 3 C. 2 D. 4
10. 10. 在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形, 邻边长分别等于线 段AC, CB 的长, 则该矩形面积小于32 cm2 的概率为 ( ) 6 3 3 5 5分
    A. 1 B. 1 C. 2 D. 4
11. 11. 设函数f (x) (x ∈R) 满足f (−x) = f (x), f (x) = f (2 −x), 且当 x ∈[0, 1] 时, f (x) = x3. 又函数g (x) = |x cos (πx) |, 则函数h (x) = [ −1 2, 3 2 ] 上的零点个数为 ( ) 5分
    G. (x) −f (x) 在 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
12. 12. 若x ∈[0, +∞), 则下列不等式恒成立的是 ( ) (B) 1 √1 + x ⩽1 −1 2x + 1 4x2 2x2 8x2 5分
    A. ex ⩽1 + x + x2 C. cos x ⩾1 −1 D. ln (1 + x) ⩾x −1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 . 1 1 2 1 0.5 2 0.5 5分
2. 2. 已知等比数列{an} 为递增数列, 且a2 5 = a10, 2 (an + an+2) = 5an+1, 则数 列{an} 的通项公式an = . 5分
3. 3. 已知P, Q 为抛物线x2 = 2y 上两点, 点P, Q 的横坐标分别为4, −2, 过 P, Q 分别作抛物线的切线, 两切线交于A, 则点A 的纵坐标为 . 5分
4. 4. 已知正三棱锥P −ABC, 点P, A, B, C 都在半径为 √ 3 的球面上. 若PA, PB, PC 两两互相垂直, 则球心到截面ABC 的距离为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c. 角A, B, C 成等差数列. (1) 求cos B 的值; (2) 若边a, b, c 成等比数列, 求sin A sin C 的值.
2. 2. 如图, 直三棱柱ABC −A′B′C′, ∠BAC = 90◦, AB = AC = λAA′, 点M, N 分别为A′B 和B′C′ 的中点. (1) 证明: MN 平面A′ACC′; (2) 若二面角A′ −MN −C 为直二面角, 求λ 的值. A C B A′ M N C′ B′ 751
3. 3. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽 取了100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体 育节目时间的频率分布直方图: 频率 组距 0 分钟 0.010 0.018 0.022 0.025 0.020 0.005 10 20 30 40 50 60 将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟的观众称为“体育迷”. (1) 根据已知条件完成下面的2 × 2 列联表, 并据此资料你是否认为“体育 迷”与性别有关? 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 (2) 将上述调查所得到的频率视为概率. 现在从该地区大量电视观众中, 采 用随机抽样方法每次抽取一名观众, 抽取3 次, 记被抽取的3 名观众中的 “体育迷”人数为X. 若每次抽取的结果是相互独立的, 求X 的分布列, 期 望E (X) 和方差D (X). 附: χ2 = n (n11n22 −n12n21)2 n1+n2+n+1n+2 , P (χ2 ⩾k) 0.05 0.01 k 3.841 6.635 .
4. 4. 如图, 椭圆C0: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0, a, b 为常数), 动圆C1: x2+y2 = t2 1, (1) 求直线AA1 与直线A2B 交点M 的轨迹方程; (2) 设动圆C2: x2 + y2 = t2 2 与C0 相交于A′, B′, C′, D′ 四点, 其中 t2 1 + t2 2 为定值. x y O A B C D A2 A1
5. 5. 设f (x) = ln (x + 1) + √x + 1 + ax + b (a, b ∈R, a, b 为常数), 曲线 y = f (x) 与直线y = 3 2x 在(0, 0) 点相切. (1) 求a, b 的值; (2) 证明: 当0 < x < 2 时, f (x) < 9x x + 6.
6. 6. 如图, ⊙O 和⊙O′ 相交于A, B 两点, 过A 作两圆的切线分别交两圆于C, (1) AC · BD = AD · AB; (2) AC = AE. A B E O O′ D C • •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 圆C1: x2 + y2 = 4, 圆C2: (x −2)2 + y2 = 4. (1) 在以O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中, 分别写出圆C1、 C2 的极坐标方程, 并求出圆C1, C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2) 求圆C1 与C2 的公共弦的参数方程.
8. 8. 已知 = |ax + 1| 不等式 ⩽ 3 的解集为 {x | −2 ⩽x ⩽1}. (1) 求a 的值; (2) 若 (x 2 ) ⩽k 恒成立, 求k 的取值范围. 752

原卷配图（含真实几何/应用题图示）