本卷为官方高考数学真题（2012年重庆（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 命题“若p 则q”的逆命题是
(
) 5分
A. 若q 则p
B. 若¬p 则¬q
C. 若¬q 则¬p
D. 若p 则¬q
-
2. 不等式x −1
x + 2 < 0 的解集为
(
) 5分
A. (1, +∞)
B. (−∞, −2)
C. (−2, 1)
D. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
-
3. 设A, B 为直线y = x 与圆x2 + y2 = 1 的两个交点, 则|AB| =
(
)
(B)
√
2
(C)
√
3 5分
A. 1
D. 2
-
4. (1 −3x)5 的展开式中x3 的系数为
(
) 5分
A. −270
B. −90
C. 90
D. 270
-
5. sin 47◦−sin 17◦cos 30◦
cos 17◦
=
(
)
√
3
2
2
2
(D)
√
3
2 5分
A. −
B. −1
C. 1
-
6. 设x ∈R, 向量a = (x, 1), b = (1, −2), 且a ⊥b, 则|a + b| =
(
)
(A)
√
5
(B)
√
10
√
5 5分
C. 2
D. 10
-
7. 已知a = log2 3 + log2
√
3, b = log2 9 −log2
√
3, c = log3 2, 则a, b, c 的大
小关系是
(
) 5分
A. a = b < c
B. a = b > c
C. a < b < c
D. a > b > c
-
8. 设函数f (x) 在R 上可导, 其导函数为f ′ (x), 且函数f (x) 在x = −2 处
取得极小值, 则函数y = xf ′ (x) 的图象可能是
(
)
(A)
x
−2
•
y
O
(B)
x
−2
•
y
O
(C)
x
−2
•
y
O
(D)
x
−2
•
y
O 5分
-
9. 设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1,
√
2 和a, 且长为a 的棱与长为
√
2 的棱异面, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
2
)
(B)
(
0,
√
3
)
(C)
(
1,
√
2
)
(D)
(
1,
√
3
) 5分
-
10. 设函数
=
x2 −4x + 3,
=
3x −2,
集合
M
=
{x ∈R | f (g (x)) > 0}, N = {x ∈R | g (x) < 2}, 则M ∩N 为
(
) 5分
F. (x)
G. (x)
A. (1, +∞)
B. (0, 1)
C. (−1, 1)
D. (−∞, 1)
-
1. 首项为1, 公比为2 的等比数列的前4 项和S4 =
. 5分
-
2. 若f (x) = (x + a) (x −4) 为偶函数, 则实数a =
. 5分
-
3. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且a = 1, b = 2,
cos C = 1
4, 则sin B =
. 5分
-
4. 设P 为直线y = b
3ax 与双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 (a > 0, b > 0) 左支的交点,
F1 是左焦点, PF1 垂直于x 轴, 则双曲线的离心率e =
. 5分
-
5. 某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三
门艺术课各1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1 节艺术课
的概率为
. (用数字作答) 5分
-
1. 已知{an} 为等差数列, 且a1 + a3 = 8, a2 + a4 = 12.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 记{an} 的前n 项和为{Sn}, 若a1, ak, ak+2 成等比数列, 求正整数k
的值.
-
2. 已知函数f (x) = ax3 + bx + c 在点x = 2 处取得极值c −16.
(1) 求a, b 的值;
(2) 若f (x) 有极大值28, 求f (x) 在[−3, 3] 上的最小值.
-
3. 甲、乙两人轮流投篮, 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直
到有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为
1
3, 乙每次投篮投中的概率为1
2, 且各次投篮互不影响.
(1) 求乙获胜的概率;
(2) 求投篮结束时乙只投了2 个球的概率.
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-
4. 设函数f (x) = A sin (ωx + φ) (其中A > 0, ω > 0, −π < φ ⩽π) 在x = π
6
处取得最大值2, 其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π
2 .
(1) 求f (x) 的解析式;
(2) 求函数g (x) = 6 cos4 x −sin2 x −1
f
(
x + π
6
)
的值域.
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5. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 4, AC = BC = 3, D 为AB
的中点.
(1) 求异面直线CC1 和AB 的距离;
(2) 若AB1 ⊥A1C, 求二面角A1 −CD −B1 的平面角的余弦值.
A
C
D
B
A1
C1
B1
-
6. 如图, 设椭圆的中心为原点O, 长轴在x 轴上, 上顶点为A, 左、右焦点分
别为F1, F2, 线段OF1, OF2 的中点分别为B1, B2, 且△AB1B2 是面积为
4 的直角三角形.
(1) 求该椭圆的离心率和标准方程;
(2) 过B1 作直线交椭圆于P, Q 两点, 使PB2 ⊥QB2, 求△PB2Q 的面
积.
x
y
O
A
B1
B2
F1
F2
P
Q
•
•
724
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