本卷为官方高考数学真题（2012年重庆（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 在等差数列{an} 中, a2 = 1, a4 = 5, 则{an} 的前5 项和S5 =
(
) 5分
A. 7
B. 15
C. 20
D. 25
-
2. 不等式x −1
2x + 1 ⩽0 的解集为
(
)
(A)
(
−1
2, 1
]
(B)
[
−1
2, 1
]
(C)
(
−∞, −1
2
)
∪[1, +∞)
(D)
(
−∞, −1
2
]
∪[1, +∞) 5分
-
3. 对任意的实数k, 直线y = kx + 1 与圆x2 + y2 = 2 的位置关系一定是(
) 5分
A. 相离
B. 相切
C. 相交但直线不过圆心
D. 相交且直线过圆心
-
4. (√x +
1
2√x
)8
的展开式中常数项为
(
)
16
8
4 5分
A. 35
B. 35
C. 35
D. 105
-
5. 设tan α, tan β 是方程x2 −3x + 2 = 0 的两根, 则tan (α + β) 的值为(
) 5分
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
-
6. 设x, y ∈R, 向量a = (x, 1), b = (1, y), c = (2, −4), 且a ⊥c, b
c, 则
|a + b| =
(
)
(A)
√
5
(B)
√
10
√
5 5分
C. 2
D. 10
-
7. 已知f (x) 是定义在R 上的偶函数, 且以2 为周期, 则“f (x) 为[0, 1] 上的
增函数”是“f (x) 为[3, 4] 上的减函数”的
(
) 5分
A. 既不充分也不必要的条件
B. 充分而不必要的条件
C. 必要而不充分的条件
D. 充要条件
-
8. 设函数f (x) 在R 上可导, 其导函数为f ′ (x), 且函数y = (1 −x) f ′ (x) 的
图象如图所示, 则下列结论中一定成立的是
(
)
x
−2
1
2
y
O 5分
A. 函数f (x) 有极大值f (2) 和极小值f (1)
B. 函数f (x) 有极大值f (−2) 和极小值f (1)
C. 函数f (x) 有极大值f (2) 和极小值f (−2)
D. 函数f (x) 有极大值f (−2) 和极小值f (2)
-
9. 设四面体的六条棱的长分别为1, 1, 1, 1,
√
2 和a, 且长为a 的棱与长为
√
2 的棱异面, 则a 的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
2
)
(B)
(
0,
√
3
)
(C)
(
1,
√
2
)
(D)
(
1,
√
3
) 5分
-
10. 设平面点集A =
{
(x, y)
(y −x)
(
y −1
x
)
⩾0
}
, B = {(x, y) | (x −1)2 +
(y −1)2 ⩽1}, 则A ∩B 所表示的平面图形的面积为
(
)
4π
5π
7π
2 5分
A. 3
B. 3
C. 4
D. π
-
1. 若(1 + i) (2 + i) = a + bi, 其中a, b ∈R, i 为虚数单位, 则a + b =
. 5分
-
2. lim
n→∞
1
√
n2 + 5n −n =
. 5分
-
3. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且cos A = 3
5,
cos B = 5
13, b = 3, 则c =
. 5分
-
4. 过抛物线y2 = 2x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A, B 两点, 若|AB| = 25
12,
|AF| < |BF|, 则|AF| =
. 5分
-
5. 某艺校在一天的6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三
门艺术课各1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1 节艺术课
的概率为
. (用数字作答) 5分
-
1. 设f (x) = a ln x + 1
2x + 3
2x + 1, 其中a ∈R, 曲线y = f (x) 在点(1, f (1))
处的切线垂直于y 轴.
(1) 求a 的值;
(2) 求函数f (x) 的极值.
-
2. 甲、乙两人轮流投篮, 每人每次投一球. 约定甲先投且先投中者获胜, 一直
到有人获胜或每人都已投球3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为
1
3, 乙每次投篮投中的概率为1
2, 且各次投篮互不影响.
(1) 求甲获胜的概率;
(2) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ 的分布列与期望.
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3. 设f (x) = 4 cos
(
ωx −π
6
)
sin ωx −cos (2ωx + π), 其中ω > 0.
(1) 求函数y = f (x) 的值域;
(2) 若f (x) 在区间
[
−3π
2 , π
2
]
上为增函数, 求ω 的最大值.
721
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4. 如图, 在直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = 4, AC = BC = 3, D 为AB
的中点.
(1) 求点C 到平面A1ABB1 的距离;
(2) 若AB1 ⊥A1C, 求二面角A1 −CD −C1 的平面角的余弦值.
A
C
D
B
A1
C1
B1
-
5. 如图, 设椭圆的中心为原点O, 长轴在x 轴上, 上顶点为A, 左、右焦点分
别为F1, F2, 线段OF1, OF2 的中点分别为B1, B2, 且△AB1B2 是面积为
4 的直角三角形.
(1) 求该椭圆的离心率和标准方程;
(2) 过B1 作直线l 交椭圆于P, Q 两点, 使PB2 ⊥QB2, 求直线l 的方程.
x
y
O
A
B1
B2
F1
F2
P
Q
l
•
•
-
6. 设数列{an} 的前n 项和Sn 满足Sn+1 = a2Sn + a1, 其中a2̸ = 0.
(1) 求证: {an} 是首项为1 的等比数列;
(2) 若a2 > −1, 求证: Sn ⩽n
2 (a1 + an), 并给出等号成立的充要条件.
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