本卷为官方高考数学真题（2012年陕西（文科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
解答题（分值见原卷）（共 5 题）
-
1. 函数f (x) = A sin
(
ωx −π
6
)
+ 1 (A > 0, ω > 0) 的最大值为3, 其图象相
邻两条对称轴之间的距离为π
2 .
(1) 求函数f (x) 的解析式;
(2) 设α ∈
(
0, π
2
)
, f
(α
2
)
= 2, 求α 的值.
-
2. 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, AB = AA1, ∠CAB = π
2 .
(1) 证明: CB1 ⊥BA1;
(2) 已知AB = 2, BC =
√
5, 求三棱锥C1 −ABA1 的体积.
B
C
A
B1
C1
A1
-
3. 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等, 为了解他们的
使用寿命, 现从两种品牌的产品中分别随机抽取100 个进行测试, 结果统
计如下:
频数
0
寿命/小时
5
20
40
25
10
100150200250300350
甲品牌
频数
0
寿命/小时
10
20
30
25
15
100150200250300350
乙品牌
(1) 估计甲品牌产品寿命小于200 小时的概率;
(2) 这两种品牌产品中, 某个产品已使用了200 小时, 试估计该产品是甲品
牌的概率.
-
4. 已知椭圆C1: x2
4 + y2 = 1, 椭圆C2 以C1 的长轴为短轴, 且与C1 有相同
的离心率.
(1) 求椭圆C2 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 点A, B 分别在椭圆C1 和C2 上, # »
OB = 2# »
OA, 求直
线AB 的方程.
-
5. 设函数fn (x) = xn + bx + c (n ∈N+, b, c ∈R).
(1) 设n ⩾2, b = 1, c = −1, 证明: fn (x) 在区间
(1
2, 1
)
内存在唯一零点;
(2) 设n 为偶数, |f (−1)| ⩽1, |f (1)| ⩽1, 求b + 3c 的最小值和最大值;
(3) 设n = 2, 若对任意x1, x2 ∈[−1, 1], 有|f2 (x1) −f2 (x2) | ⩽4, 求b 的
取值范围.
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原卷配图（含真实几何/应用题图示）
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