2012年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2012年陕西（理科）），共 5 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 设{an} 是公比不为1 的等比数列, 其前n 项和为Sn, 且a5, a3, a4 成等 差数列. (1) 求数列{an} 的公比; (2) 证明: 对任意k ∈N+, Sk+2, Sk, Sk+1 成等差数列.
2. 2. (1) 如图, 证明命题“a 是平面π 内的一条直线, b 是π 外的一条直线(b 不 垂直于π), c 是直线b 在π 上的投影, 若a ⊥b, 则a ⊥c”为真; (2) 写出上述命题的逆命题, 并判断其真假(不需证明). π c a b
3. 3. 已知椭圆C1: x2 4 + y2 = 1, 椭圆C2 以C1 的长轴为短轴, 且与C1 有相同 的离心率. (1) 求椭圆C2 的方程; (2) 设O 为坐标原点, 点A, B 分别在椭圆C1 和C2 上, # » OB = 2# » OA, 求直 线AB 的方程.
4. 4. 某银行柜台设有一个服务窗口, 假设顾客办理业务所需的时间互相独立, 且 都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1) 估计第三个顾客恰好等待4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第2 分钟末已办理完业务的顾客人数, 求X 的分布列及数学 期望.
5. 5. 设函数fn (x) = xn + bx + c (n ∈N+, b, c ∈R). (1) 设n ⩾2, b = 1, c = −1, 证明: fn (x) 在区间 (1 2, 1 ) 内存在唯一零点; (2) 设n = 2, 若对任意x1, x2 ∈[−1, 1], 有|f2 (x1) −f2 (x2) | ⩽4, 求b 的 取值范围; (3) 在(1) 的条件下, 设xn 是fn (x) 在 (1 2, 1 ) 内的零点, 判断数列x2, x3, · · · , xn, · · · 的增减性. 764

原卷配图（含真实几何/应用题图示）