2013年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 不等式 x 2x −1 < 0 的解为 . 5分
2. 2. 在等差数列{an} 中, 若a1 + a2 + a3 + a4 = 30, 则a2 + a3 = . 5分
3. 3. 设m ∈R, m2 + m −2 + (m2 −1) i 是纯虚数, 其中i 是虚数单位, 则 m = . 5分
4. 4. 若  x 2 1 1  = 0,  x y 1 1  = 1, 则x + y = . 5分
5. 5. 已知△ABC 的内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c. 若a2+ab+b2−c2 = 0, 则角C 的大小是 . 5分
6. 6. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%. 在一次考试中, 男、女 生平均分数分别为75、80, 则这次考试该年级学生平均分数为 . 5分
7. 7. 设常数a ∈R. 若 ( x2 + a x )5 的二项展开式中x7 项的系数为−10, 则 . 5分
   A. =
8. 8. 方程 9 3x −1 + 1 = 3x 的实数解为 . 5分
9. 9. 若cos x cos y + sin x sin y = 1 3, 则cos (2x −2y) = . 5分
10. 10. 已知圆柱Ω的母线长为l, 底面半径为r, O 是上底面圆心, A、B 是下底 面圆周上两个不同的点, BC 是母线, 如图. 若直线OA 与BC 所成角的大 小为π 6 , 则l r = . B C O • • A 5分
11. 11. 盒子中装有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 的七个球, 从中任意取出两个, 则这两 个球的编号之积为偶数的概率是 . (结果用最简分数表示) 5分
12. 12. 设AB 是椭圆Γ 的长轴, 点C 在Γ 上, 且∠CBA = π 4 , 若AB = 4, BC = √ 2, 则Γ 的两个焦点之间的距离为 . 5分
13. 13. 设常数a > 0. 若9x + a2 x ⩾a + 1 对一切正实数x 成立, 则a 的取值范围 为 . 5分
14. 14. 已知正方形ABCD 的边长为1. 记以A 为起点, 其余顶点为终点的向量 分别为#» a1、#» a2、#» a3; 以C 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为#» c1、#» c2、#» c3. 若i, j, k, l ∈{1, 2, 3} 且i̸ = j, k̸ = l, 则(#» ai + #» aj) · (#» ck + #»cl) 的最小值 是 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 函数f (x) = x2 −1 (x ⩾1) 的反函数为f −1 (x), 则f −1 (2) 的值是 ( ) (A) √ 3 √ 3 √ 2 √ 2 5分
   B. − C. 1 + D. 1 −
2. 2. 设常数a ∈R, 集合A = {x | (x −1)(x −a) ⩾0}, B = {x | x ⩾a −1}. 若A ∪B = R, 则a 的取值范围为 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (−∞, 2] C. (2, +∞) D. [2, +∞)
3. 3. 钱大姐常说“便宜没好货”, 她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的 ( ) 5分
   A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
4. 4. 记椭圆x2 4 + ny2 4n + 1 = 1 围成的区域(含边界) 为Ωn (n = 1, 2, · · · ), 当 点(x, y) 分别在Ω1, Ω2, · · · 上时, x + y 的最大值分别是M1, M2, · · · , 则 lim n→∞Mn = ( ) 4 √ 2 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 2

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 正三棱锥O −ABC 底面边长为2, 高为1, 求该三棱锥的体积及表 面积. A B C O
2. 2. 甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1 ⩽x ⩽10), 每一小时可获得利润是100 ( 5x + 1 −3 x ) 元. (1) 求证: 生产a 千克该产品所获得的利润为100a ( 5 + 1 x −3 x2 ) 元; (2) 要使生产900 千克该产品获得的利润最大, 问: 甲厂应该选取何种生产 速度? 并求最大利润. 843
3. 3. 已知函数f (x) = 2 sin ωx, 其中常数ω > 0. (1) 令ω = 1, 判断函数F (x) = f (x) + f ( x + π 2 ) 的奇偶性并说明理由; (2) 令ω = 2, 将函数y = f (x) 的图象向左平移π 6 个单位, 再向上平移1 个单位, 得到函数y = g (x) 的图象. 对任意的a ∈R, 求y = g (x) 在区间 [a, a + 10π] 上零点个数的所有可能值.
4. 4. 已知函数f (x) = 2 −|x|, 无穷数列{an} 满足an+1 = f (an), n ∈N∗. (1) 若a1 = 0, 求a2, a3, a4; (2) 若a1 > 0, 且a1, a2, a3 成等比数列, 求a1 的值; (3) 是否存在a1, 使得a1, a2, a3, · · · , an, · · · 成等差数列? 若存在, 求出所 有这样的a1; 若不存在, 说明理由.
5. 5. 如图, 已知双曲线C1: x2 2 −y2 = 1, 曲线C2: |y| = |x| + 1. P 是平面内一 点, 若存在过点P 的直线与C1、C2 都有公共点, 则称P 为“C1 −C2 型点” . (1) 在正确证明C1 的左焦点是“C1 −C2 型点”时, 要使用一条过该焦点的 直线, 试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2) 设直线y = kx 与C2 有公共点, 求证|k| > 1, 进而证明原点不是 “C1 −C2 型点”; (3) 求证: 圆x2 + y2 = 1 2 内的点都不是“C1 −C2 型点”. x y O 844

原卷配图（含真实几何/应用题图示）