2013年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 计算: lim n→∞ n + 20 3n + 13 = . 5分
2. 2. 设m ∈R, m2 + m −2 + (m2 −1) i 是纯虚数, 其中i 是虚数单位, 则 m = . 5分
3. 3. 若  x2 y2 −1 1  =  x x y −y , 则x + y = . 5分
4. 4. 已知△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c. 若3a2 +2ab+3b2 − 3c2 = 0, 则角C 的大小是 . (结果用反三角函数值表示) 5分
5. 5. 设常数a ∈R. 若 ( x2 + a x )5 的二项展开式中x7 项的系数为−10, 则 . 5分
   A. =
6. 6. 方程 3 3x −1 + 1 3 = 3x−1 的实数解为 . 5分
7. 7. 在极坐标系中, 曲线ρ = cos θ + 1 与ρ cos θ = 1 的公共点到极点的距离 为 . 5分
8. 8. 盒子中装有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 的九个球, 从中任意取出两个, 则 这两个球的编号之积为偶数的概率是 . (结果用最简分数表示) 5分
9. 9. 设AB 是椭圆Γ 的长轴, 点C 在Γ 上, 且∠CBA = π 4 , 若AB = 4, BC = √ 2, 则Γ 的两个焦点之间的距离为 . 5分
10. 10. 设非零常数d 是等差数列x1, x2, x3, · · · , x19 的公差, 随机变量ξ 等可能 地取值x1, x2, x3, · · · , x19, 则方差Dξ = . 5分
11. 11. 若cos x cos y + sin x sin y = 1 2, sin 2x + sin 2y = 2 3, 则sin (x + y) = . 5分
12. 12. 设a 为实常数, y = f (x) 是定义在R 上的奇函数, 当x < 0 时, x + 7, 若f (x) ⩾a + 1 对一切x ⩾0 成立, 则a 的取 值范围为 . 5分
    F. (x) = 9x + a2
13. 13. 在xOy 平面上, 将两个半圆弧(x −1)2+y2 = 1 (x ⩾1) 和(x −3)2+y2 = 1 (x ⩾3)、两条直线y = 1 和y = −1 围成的封闭图形记为D, 如图中阴影 部分. 记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω, 过(0, y) (|y| ⩽1) 作Ω的 水平截面, 所得截面面积为4π √ 1 −y2 + 8π, 试利用祖暅原理、一个平放 的圆柱和一个长方体, 得出Ω的体积值为 . x y O 1 −1 1 2 3 4 5分
14. 14. 对区间I 上有定义的函数g (x), 记g (I) = {y | y = g (x) , x ∈I }, 已知 定义域为[0, 3] 的函数y = f (x) 有反函数y = f −1 (x), 且f −1 ([0, 1)) = [1, 2), f −1 ((2, 4]) = [0, 1), 若方程f (x) −x = 0 有解x0, 则x0 = . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设常数a ∈R, 集合A = {x | (x −1)(x −a) ⩾0}, B = {x | x ⩾a −1}. 若A ∪B = R, 则a 的取值范围为 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (−∞, 2] C. (2, +∞) D. [2, +∞)
2. 2. 钱大姐常说“便宜没好货”, 她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的 ( ) 5分
   A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件
3. 3. 在数列{an} 中, an = 2n −1, 若一个7 行12 列的矩阵的第i 行第j 列的 元素aij = ai · aj + ai + aj (i = 1, 2, · · · , 7; j = 1, 2, · · · ,12) 则该矩阵元 素能取到的不同数值的个数为 ( ) 5分
   A. 18 B. 28 C. 48 D. 63
4. 4. 在边长为1 的正六边形ABCDEF 中, 记以A 为起点, 其余顶点为终点的 向量分别为#» a1, #» a2, #» a3, #» a4, #» a5; 以D 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 #» d1, #» d2, #» d3, #» d4, #» d5. 若m, M 分别为(#» ai + #» aj + #» ak) · (#» dr + #» ds + #» dt ) 的最小 值、最大值, 其中{i, j, k} ⊆{1, 2, 3, 4, 5}, {r, s, t} ⊆{1, 2, 3, 4, 5}, 则m、M 满足 ( ) 5分
   A. m = 0, M > 0 B. m < 0, M > 0 C. m < 0, M = 0 D. m < 0, M < 0

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 如图, 在长方体ABCD −A′B′C′D′ 中, AB = 2, AD = 1, AA′ = 1, 证明 直线BC′ 平行于平面D′AC, 并求直线BC′ 到平面D′AC 的距离. A′ B′ C′ D′ A B C D
2. 2. 甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1 ⩽x ⩽10), 每一小时可获得利润是100 ( 5x + 1 −3 x ) 元. (1) 要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000 元, 求x 的取值范围; (2) 要使生产900 千克该产品获得的利润最大, 问: 甲厂应该选取何种生产 速度? 并求最大利润. 841
3. 3. 已知函数f (x) = 2 sin ωx, 其中常数ω > 0. (1) 若y = f (x) 在 [ −π 4 , 2π 3 ] 上单调递增, 求ω 的取值范围; (2) 令ω = 2, 将函数y = f (x) 的图象向左平移π 6 个单位, 再向上平移1 个单位, 得到函数y = g (x) 的图象. 区间[a, b] (a, b ∈R 且a < b) 满足: y = g (x) 在[a, b] 上至少含有30 个零点, 在所有满足上述条件的[a, b] 中, 求b −a 的最小值.
4. 4. 如图, 已知双曲线C1: x2 2 −y2 = 1, 曲线C2: |y| = |x| + 1. P 是平面内一 点, 若存在过点P 的直线与C1、C2 都有公共点, 则称P 为“C1 −C2 型点” . (1) 在正确证明C1 的左焦点是“C1 −C2 型点”时, 要使用一条过该焦点的 直线, 试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2) 设直线y = kx 与C2 有公共点, 求证|k| > 1, 进而证明原点不是 “C1 −C2 型点”; (3) 求证: 圆x2 + y2 = 1 2 内的点都不是“C1 −C2 型点”. x y O
5. 5. 给定常数c > 0, 定义函数f (x) = 2 |x + c + 4| −|x + c|, 数列a1, a2, a3, · · · 满足an+1 = f (an), n ∈N∗. (1) 若a1 = −c −2, 求a2 及a3; (2) 求证: 对任意n ∈N∗, an+1 −an ⩾c; (3) 是否存在a1, 使得a1, a2, · · · , an, · · · 成等差数列? 若存在, 求出所有 这样的a1, 若不存在, 说明理由. 842

原卷配图（含真实几何/应用题图示）