2013年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 0, 1}, B = {x | −1 ⩽x < 1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0} B. {−1, 0} C. {0, 1} D. {−1, 0, 1}
2. 2. 设a, b, c ∈R, 且a > b, 则 ( ) b 5分
   A. ac > bc B. 1 A. < 1 C. a2 > b2 D. a3 > b3
3. 3. 下列函数中, 既是偶函数又在区间(0, +∞) 上单调递减的是 ( ) x 5分
   A. y = 1 B. y = e−x C. y = −x2 + 1 D. y = lg |x|
4. 4. 在复平面内, 复数i (2 −i) 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 5. 在△ABC 中, a = 3, b = 5, sin A = 1 3, 则sin B = ( ) 5 9 (C) √ 5 3 5分
   A. 1 B. 5 D. 1
6. 6. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 i = 0, S = 1 S = S2 + 1 2S + 1 i = i + 1 i ⩾2 输出S 结束 是 否 3 21 987 5分
   A. 1 B. 2 C. 13 D. 610
7. 7. 双曲线x2 −y2 m = 1 的离心率大于 √ 2 的充分必要条件是 ( ) 2 5分
   A. m > 1 B. m ⩾1 C. m > 1 D. m > 2
8. 8. 如图, 在正方体ABCD −A1B1C1D1 中, P 为对角线BD1 的三等分点, P 到各顶点的距离的不同取值有 ( ) A B P C D A1 B1 C1 D1 • 5分
   A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若抛物线y2 = 2px 的焦点坐标为(1, 0), 则p = ; 准线方程为 . 5分
2. 2. 某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的体积为 . 2 1 1 1 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
3. 3. 若等比数列{an} 满足a2 + a4 = 20, a3 + a5 = 40, 则公比q = , 前 n 项和Sn = . 5分
4. 4. 设D 为不等式组        x ⩾0, 2x −y ⩽0, x + y −3 ⩽0 表示的平面区域, 区域D 上的点与点 (1, 0) 之间的距离的最小值为 . 5分
5. 5. 函数f (x) = { log 1 2 x, x ⩾1, 2x, x < 1, 的值域为 . 5分
6. 6. 已知点A (1, −1), B (3, 0), C (2, 1). 若平面区域D 由所有满足# » AP = λ# » AB + µ# » AC (1 ⩽λ ⩽2, 0 ⩽µ ⩽1) 的点P 组成, 则D 的面积为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = (2cos2x −1) sin 2x + 1 2 cos 4x. (1) 求f (x) 的最小正周期及最大值; (2) 若α ∈ (π 2 , π ) , 且f (α) = √ 2 2 , 求α 的值.
2. 2. 下图是某市3 月1 日至14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于200 表示空气重度污染. 某人 随机选择3 月1 日至3 月13 日中的某一天到达该市, 并停留2 天. 日期 空气质量指数 86 25 57 143 220 160 40 217 160 121 158 86 79 37 0 50 100 150 200 250 1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日 • • • • • • • • • • • • • • (1) 求此人到达当日空气质量优良的概率; (2) 求此人在该市停留期间只有1 天空气质量重度污染的概率; (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求 证明) 789
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, AB CD, AB ⊥AD, CD = 2AB, 平面 PAD ⊥底面ABCD, PA ⊥AD, E 和F 分别是CD 和PC 的中点. 求 证: (1) PA ⊥底面ABCD; (2) BE 平面PAD; (3) 平面BEF ⊥平面PCD. A B C F D E P
4. 4. 已知函数f (x) = x2 + x sin x + cos x. (1) 若曲线y = f (x) 在点(a, f (a)) 处与直线y = b 相切, 求a 与b 的值; (2) 若曲线y = f (x) 与直线y = b 有两个不同交点, 求b 的取值范围.
5. 5. 直线y = kx + m (m̸ = 0) 与椭圆W: x2 4 + y2 = 1 相交于A, C 两点, O 是坐标原点. (1) 当点B 的坐标为(0, 1), 且四边形OABC 为菱形时, 求AC 的长; (2) 当点B 在W 上且不是W 的顶点时, 证明: 四边形OABC 不可能为 菱形.
6. 6. 给定数列a1, a2, · · · , an, 对i = 1, 2, · · · , n −1, 该数列前i 项的最大值记 为Ai, 后n −i 项ai+1, ai+2, · · · , an 的最小值记为Bi, di = Ai −Bi. (1) 设数列{an} 为3, 4, 7, 1, 写出d1, d2, d3 的值; (2) 设a1, a2, · · · , an (n ⩾4) 是公比大于1 的等比数列, 且a1 > 0. 证明: d1, d2, · · · , dn−1 是等比数列; (3) 设d1, d2, · · · , dn−1 是公差大于0 的等差数列, 且d1 > 0. 证明: a1, a2, · · · , an−1 是等差数列. 790

原卷配图（含真实几何/应用题图示）