2013年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {−1, 0, 1}, B = {x | −1 ⩽x < 1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0} B. {−1, 0} C. {0, 1} D. {−1, 0, 1}
2. 2. 在复平面内, 复数(2 −i)2 对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 3. “φ = π”是“曲线y = sin (2x + φ) 过坐标原点”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 i = 0, S = 1 S = S2 + 1 2S + 1 i = i + 1 i ⩾2 输出S 结束 是 否 3 21 987 5分
   A. 1 B. 2 C. 13 D. 610
5. 5. 函数f (x) 的图象向右平移1 个单位长度, 所得图象与曲线y = ex 关于y 轴对称, 则f (x) = ( ) 5分
   A. ex+1 B. ex−1 C. e−x+1 D. e−x−1
6. 6. 若双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 的离心率为 √ 3, 则其渐近线方程为 ( ) √ 2x 2x √ 2 2 x 5分
   A. y = ±2x B. y = ± C. y = ±1 D. y = ±
7. 7. 直线l 过抛物线C: x2 = 4y 的焦点且与y 轴垂直, 则l 与C 所围成的图 形的面积等于 ( ) 3 3 √ 2 3 5分
   A. 4 B. 2 C. 8 D. 16
8. 8. 设关于x, y 的不等式组        2x −y + 1 > 0, x + m < 0, y −m > 0 表示的平面区域内存在点 P (x0, y0), 满足x0 −2y0 = 2, 则m 的取值范围是 ( ) (A) ( −∞, 4 3 ) (B) ( −∞, 1 3 ) (C) ( −∞, −2 3 ) (D) ( −∞, −5 3 ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 在极坐标系中, 点 ( 2, π 6 ) 到直线ρ sin θ = 2 的距离等于 . 5分
2. 2. 若等比数列{an} 满足a2 + a4 = 20, a3 + a5 = 40, 则公比q = , 前 n 项和Sn = . 5分
3. 3. 如图, AB 为圆O 的直径, PA 为圆O 的切线, PB 与圆O 相交于D, 若 PA = 3. PD : DB = 9 : 16, 则PD = , AB = . A B O P D • 5分
4. 4. 将序号分别为1, 2, 3, 4, 5 的5 张参观券全部分给4 人, 每人至少1 张, 如 果分给同一人的2 张参观券连号, 那么不同的分法种数是 . 5分
5. 5. 向量a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示, 若c = λa + µb (λ, µ ∈R), 则λ µ = . a b c 5分
6. 6. 如图, 在棱长为2 的正方体ABCD −A1B1C1D1 中, E 为BC 的中点, 点 P 在线段D1E 上, 点P 到直线CC1 的距离的最小值为 . A B E P C D A1 B1 C1 D1 • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, a = 3, b = 2 √ 6, ∠B = 2∠A. (1) 求cos A 的值; (2) 求c 的值.
2. 2. 下图是某市3 月1 日至14 日的空气质量指数趋势图, 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良, 空气质量指数大于200 表示空气重度污染. 某人 随机选择3 月1 日至3 月13 日中的某一天到达该市, 并停留2 天. 日期 空气质量指数 86 25 57 143 220 160 40 217 160 121 158 86 79 37 0 50 100 150 200 250 1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日 • • • • • • • • • • • • • • (1) 求此人到达当日空气重度污染的概率; (2) 设X 是此人停留期间空气质量优良的天数, 求X 的分布列与数学期 望; (3) 由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大? (结论不要求 证明) 787
3. 3. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为4 的正方形. 平面 ABC ⊥平面AA1C1C, AB = 3, BC = 5. (1) 求证: AA1 ⊥平面ABC; (2) 求二面角A1 −BC1 −B1 的余弦值; (3) 证明: 在线段BC1 上存在点D, 使得AD ⊥A1B, 并求BD BC1 的值. A B C A1 B1 C1
4. 4. 设L 为曲线C: y = ln x x 在点(1, 0) 处的切线. (1) 求L 的方程; (2) 证明: 除切点(1, 0) 之外, 曲线C 在直线L 的下方.
5. 5. 已知A, B, C 是椭圆W: x2 4 + y2 = 1 上的三个点, O 是坐标原点. (1) 当点B 是W 的右顶点, 且四边形OABC 为菱形时, 求此菱形的面积; (2) 当点B 不是W 的顶点时, 判断四边形OABC 是否可能为菱形, 并说 明理由.
6. 6. 已知{an} 是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前n 项的最大值记为An, 第n 项之后各项an+1, an+2, · · · 的最小值记为Bn, dn = An −Bn. (1) 若{an} 为2, 1, 4, 3, 2, 1, 4, 3, · · · , 是一个周期为4 的数列(即对任意 n ∈N∗, an+4 = an), 写出d1, d2, d3, d4 的值; (2) 设d 是非负整数, 证明: dn = −d (n = 1, 2, 3 · · ·) 的充分必要条件为 {an} 是公差为d 的等差数列; (3) 证明: 若a1 = 2, dn = 1 (n = 1, 2, 3, · · ·), 则{an} 的项只能是1 或 者2, 且有无穷多项为1. 788

原卷配图（含真实几何/应用题图示）