2013年四川（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年四川（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 3}, 集合B = {−2, 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. ∅ B. {2} C. {−2, 2} D. {−2, 1, 2, 3}
2. 2. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体可以是 ( ) 正视图 俯视图 侧视图 5分
   A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆台
3. 3. 如图, 在复平面内, 点A 表示复数z, 则图中表示z 的共轭复数的点是( ) x y O A B D C • • • • 5分
   A. A B. B C. C D. D
4. 4. 设x ∈Z, 集合A 是奇数集, 集合B 是偶数集. 若命题p: ∀x ∈A, 2x ∈B, 则 ( ) 5分
   A. ¬p: ∃x ∈A, 2x ∈B B. ¬p: ∃x /∈A, 2x ∈B C. ¬p: ∃x ∈A, 2x /∈B D. ¬p: ∀x /∈A, 2x /∈B
5. 5. 抛物线y2 = 8x 的焦点到直线x − √ 3y = 0 的距离是 ( ) √ 3 (C) √ 3 5分
   A. 2 B. 2 D. 1
6. 6. 函数f (x) = 2 sin (ωx + φ) ( ω > 0, −π 2 < φ < π 2 ) 的部分图象如图所示, 则ω, φ 的值分别是 ( ) x y O 2 −2 5π 12 11π 12 3 6 6 3 5分
   A. 2, −π B. 2, −π C. 4, −π D. 4, π
7. 7. 某学校随机抽取20 个班, 调查各班中有网上购物经历的人数, 所得数据 的茎叶图如图所示, 以组距为5 将数据分组成[0, 5), [5, 10), · · · , [30, 35), [35, 40] 时, 所作的频率分布直方图是 ( ) 0 7 3 1 7 6 4 4 3 0 2 7 5 5 4 3 2 0 3 8 5 4 3 0 (A) 频率 组距 0 人数 0.01 0.02 0.03 0.04 5 10152025303540 (B) 频率 组距 0 人数 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 5 10152025303540 (C) 频率 组距 0 人数 0.01 0.02 0.03 0.04 10 20 30 40 (D) 频率 组距 0 人数 0.01 0.02 0.03 0.04 10 20 30 40 5分
8. 8. 若变量x, y 满足约束条件              x + y ⩽8, 2y −x ⩽4, x ⩾0, y ⩾0, 且z = 5y −x 的最大值为a, 最 小值为b, 则a −b 的值是 ( ) 5分
   A. 48 B. 30 C. 24 D. 16
9. 9. 从椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 上一点P 向x 轴作垂线, 垂足恰为左焦 点F1, A 是椭圆与x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与y 轴正半轴的交点, 且 AB OP (O 是坐标原点), 则该椭圆的离心率是 ( ) (A) √ 2 4 2 (C) √ 2 2 (D) √ 3 2 5分
   B. 1
10. 10. 设函数f (x) = √ex + x −a (a ∈R, e 为自然对数的底数). 若存在 ( ) 5分
    B. ∈[0, 1] 使f (f (b)) = b 成立, 则a 的取值范围是 A. [1, e] B. [1, 1 + e] C. [e, 1 + e] D. [0, 1]

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. lg √ 5 + lg √ 20 的值是 . 5分
2. 2. 在平行四边形ABCD 中, 对角线AC 与BD 交于点O, # » AB+ # » AD = λ# » AO, 则λ = . A B O C D 5分
3. 3. 已知函数f (x) = 4x + a x (x > 0, a > 0) 在x = 3 时取得小值, 则 . 5分
   A. =
4. 4. 设sin 2α = −sin α, α ∈ (π 2 , π ) , 则tan 2α 的值是 . 5分
5. 5. 在平面直角坐标系内, 到点A (1, 2), B (1, 5), C (3, 6), D (7, −1) 的距离之 和最小的点的坐标是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在等比数列{an} 中, a2 −a1 = 2, 且2a2 为3a1 和a3 的等差中项, 求数 列{an} 的首项、公比及前n 项和.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且cos (A −B) cos B − sin (A −B) sin (A + C) = −3 5. (1) 求sin A 的值; (2) 若a = 4 √ 2, b = 5, 求向量# » BA 在# » BC 方向上的投影. 847
3. 3. 某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量x 在1, 2, 3, · · · , 24 这24 个 整数中等可能随机产生. 开始 输入x x 为偶数? y = 1 x 能被3 整除? y = 2 y = 3 输出y 结束 否 是 否 是 (1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率Pi (i = 1, 2, 3); (2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行n 次 后, 统计记录了输出y 的值为i (i = 1, 2, 3) 的频数. 以下是甲、乙所作频 数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出y 的值 输出y 的值 输出y 的值 次数n 为1 的频数 为2 的频数 为3 的频数 30 14 6 10 · · · · · · · · · · · · 2100 1027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 输出y 的值 输出y 的值 输出y 的值 次数n 为1 的频数 为2 的频数 为3 的频数 30 12 11 7 · · · · · · · · · · · · 2100 1051 696 353 当n = 2100 时, 根据表中的数据, 分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的 值为i (i = 1, 2, 3) 的频率(用分数表示), 并判断两位同学中哪一位所编写 程序符合算法要求的可能性较大.
4. 4. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱AA1 ⊥底面ABC, AB = AC = 2AA1 = 2, ∠BAC = 120◦, D, D1 分别是线段BC, B1C1 的中点, 点P 是 线段AD 上异于端点的点. (1) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l, 请说明理 由, 并证明直线l ⊥平面ADD1A1; (2) 设(1) 中的直线l 交AC 于点Q, 求三棱锥A1 −QC1D 的体积. (锥体体积公式: V = 1 3Sh, 其中S 为底面面积, h 为高) B C P D D1 A A1 B1 C1 •
5. 5. 已知圆C 的方程为x2 + (y −4)2 = 4, 点O 是坐标原点, 直线l: y = kx 与圆C 交于M, N 两点. (1) 求k 的取值范围; (2) 设Q (m, n) 是线段MN 上的点, 且 2 |OQ|2 = 1 |OM|2 + 1 |ON|2 , 请将 n 表示为m 的函数.
6. 6. 已知函数f (x) = { x2 + 2x + a, x < 0, ln x, x > 0, 其中a 是实数. 设A (x1, f (x1)), (1) 指出函数f (x) 的单调区间; (2) 若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线互相垂直, 且x2 < 0, 证明: x2 −x1 ⩾1; (3) 若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线重合, 求a 的取值范围. 848

原卷配图（含真实几何/应用题图示）