2013年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年四川（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合A = {x | x + 2 = 0}, 集合B = {x | x2 −4 = 0}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {−2} B. {2} C. {−2, 2} D. ∅
2. 2. 如图, 在复平面内, 点A 表示复数z, 则图中表示z 的共轭复数的点是( ) x y O A B D C • • • • 5分
   A. A B. B C. C D. D
3. 3. 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是 ( ) 正视图 俯视图 侧视图 (A) (B) (C) (D) 5分
4. 4. 设x ∈Z, 集合A 是奇数集, 集合B 是偶数集. 若命题p: ∀x ∈A, 2x ∈B, 则 ( ) 5分
   A. ¬p: ∀x ∈A, 2x /∈B B. ¬p: ∀x /∈A, 2x /∈B C. ¬p: ∃x /∈A, 2x ∈B D. ¬p: ∃x ∈A, 2x /∈B
5. 5. 函数f (x) = 2 sin (ωx + φ) ( ω > 0, −π 2 < φ < π 2 ) 的部分图象如图所示, 则ω, φ 的值分别是 ( ) x y O 2 −2 5π 12 −π 3 3 6 6 3 5分
   A. 2, −π B. 2, −π C. 4, −π D. 4, π
6. 6. 抛物线y2 = 4x 的焦点到双曲线x2 −y 3 2 = 1 的渐近线的距离是 ( ) 2 (B) √ 3 2 (D) √ 3 5分
   A. 1 C. 1
7. 7. 函数y = x3 3x −1 的图象大致是 ( ) (A) x y O (B) x y O (C) x y O (D) x y O 5分
8. 8. 从1, 3, 5, 7, 9 这五个数中, 每次取出两个不同的数分别为a, b, 共可得到 lg a −lg b 的不同值的个数是 ( ) 5分
   A. 9 B. 10 C. 18 D. 20
9. 9. 节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮 相互独立, 且都在通电后的4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差 不超过2 秒的概率是 ( ) 4 2 4 8 5分
   A. 1 B. 1 C. 3 D. 7
10. 10. 设函数f (x) = √ex + x −a (a ∈R, e 为自然对数的底数). 若曲线 y = sin x 上存在(x0, y0) 使得f (f (y0)) = y0, 则a 的取值范围是 ( ) 5分
    A. [1, e] B. [e−1 −1, 1] C. [1, 1 + e] D. [e−1 −1, e + 1]

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 二项式(x + y)5 的展开式中, 含x2y3 的项的系数是 . (用数字作答) 5分
2. 2. 在平行四边形ABCD 中, 对角线AC 与BD 交于点O, # » AB+ # » AD = λ# » AO, 则λ = . 5分
3. 3. 设sin 2α = −sin α, α ∈ (π 2 , π ) , 则tan 2α 的值是 . 5分
4. 4. 已知f (x) 是定义域为R 的偶函数, 当x ⩾0 时, f (x) = x2 −4x, 那么, 不等式f (x + 2) < 5 的解集是 . 5分
5. 5. 设P1, P2, · · · , Pn 为平面α 内的n 个点, 在平面α 内的所有点中, 若点P 到P1, P2, · · · , Pn 点的距离之和最小, 则称点P 为P1, P2, · · · , Pn 点的一 个“中位点”. 例如, 线段AB 上的任意点都是端点A, B 的中位点. 则有下 列命题: ①若三个点A, B, C 共线, C 在线段AB 上, 则C 是A, B, C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点A, B, C, D 共线, 则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 . (写出所有真命题的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在等差数列{an} 中, a1 + a3 = 8, 且a4 为a2 和a9 的等比中项, 求数列 {an} 的首项、公差及前n 项和.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且2cos2 A −B 2 cos B − sin (A −B) sin B + cos (A + C) = −3 5. (1) 求cos A 的值; (2) 若a = 4 √ 2, b = 5, 求向量# » BA 在# » BC 方向上的投影. 845
3. 3. 某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量x 在1, 2, 3, · · · , 24 这24 个 整数中等可能随机产生. 开始 输入x x 为偶数? y = 1 x 能被3 整除? y = 2 y = 3 输出y 结束 否 是 否 是 (1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率Pi (i = 1, 2, 3); (2) 甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行n 次 后, 统计记录了输出y 的值为i (i = 1, 2, 3) 的频数. 以下是甲、乙所作频 数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出y 的值 输出y 的值 输出y 的值 次数n 为1 的频数 为2 的频数 为3 的频数 30 14 6 10 · · · · · · · · · · · · 2100 1027 376 697 乙的频数统计表(部分) 运行 输出y 的值 输出y 的值 输出y 的值 次数n 为1 的频数 为2 的频数 为3 的频数 30 12 11 7 · · · · · · · · · · · · 2100 1051 696 353 当n = 2100 时, 根据表中的数据, 分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的 值为i (i = 1, 2, 3) 的频率(用分数表示), 并判断两位同学中哪一位所编写 程序符合算法要求的可能性较大; (3) 按程序框图正确编写的程序运行3 次, 求输出y 的值为2 的次数ξ 的 分布列及数学期望.
4. 4. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱AA1 ⊥底面ABC, AB = AC = 2AA1, ∠BAC = 120◦, D, D1 分别是线段BC, B1C1 的中点, P 是线段 AD 的中点. (1) 在平面ABC 内, 试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l, 说明理 由, 并证明直线l ⊥平面ADD1A1; (2) 设(1) 中的直线l 交AB 于点M, 交AC 于点N, 求二面角 B C P D D1 A A1 B1 C1 •
5. 5. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的两个焦点分别为F1 (−1, 0), F2 (1, 0), 且椭圆C 经过点P (4 3, 1 3 ) . (1) 求椭圆C 的离心率; (2) 设过点A (0, 2) 的直线l 与椭圆C 交于M, N 两点, 点Q 是线段MN 上的点, 且 2 |AQ|2 = 1 |AM|2 + 1 |AN|2 , 求点Q 的轨迹方程.
6. 6. 已知函数f (x) = { x2 + 2x + a, x < 0, ln x, x > 0, 其中a 是实数. 设A (x1, f (x1)), (1) 指出函数f (x) 的单调区间; (2) 若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线互相垂直, 且x2 < 0, 求x2−x1 的最小值; (3) 若函数f (x) 的图象在点A, B 处的切线重合, 求a 的取值范围. 846

原卷配图（含真实几何/应用题图示）