2013年大纲（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年大纲（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {1, 2}, 则∁UA = ( ) 5分
   A. {1, 2} B. {3, 4, 5} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. ∅
2. 2. 已知α 是第二象限角, sin α = 5 13, 则cos α = ( ) 13 13 13 13 5分
   A. −12 B. −5 C. 5 D. 12
3. 3. 已知向量m = (λ + 1, 1), n = (λ + 2, 2), 若(m + n) ⊥(m −n), 则 λ = ( ) 5分
   A. −4 B. −3 C. −2 D. −1
4. 4. 不等式|x2 −2| < 2 的解集是 ( ) 5分
   A. (−1, 1) B. (−2, 2) C. (−1, 0) ∪(0, 1) D. (−2, 0) ∪(0, 2)
5. 5. (x + 2)8 的展开式中x6 的系数是 ( ) 5分
   A. 28 B. 56 C. 112 D. 224
6. 6. 函数f (x) = log2 ( 1 + 1 x ) (x > 0) 的反函数f −1 (x) = ( ) (A) 1 2x −1 (x > 0) (B) 1 2x −1 (x̸ = 0) 5分
   C. 2x −1 (x ∈R) D. 2x −1 (x > 0)
7. 7. 已知数列{an} 满足3an+1 + an = 0, a2 = −4 3, 则{an} 的前10 项和等 于 ( ) 9 (1 −310) 5分
   A. −6 (1 −3−10) (B) 1 C. 3 (1 −3−10) D. 3 (1 + 3−10)
8. 8. 已知F1 (−1, 0), F2 (1, 0) 是椭圆C 的两个焦点, 过F2 且垂直于x 轴的直 线交C 于A、B 两点, 且|AB| = 3, 则C 的方程为 ( ) 2 + y2 = 1 3 + y2 2 = 1 4 + y2 3 = 1 5 + y2 4 = 1 5分
   A. x2 B. x2 C. x2 D. x2
9. 9. 若函数y = sin (ωx + φ) (ω > 0) 的部分图象如图所示, 则ω = ( ) y x0 x0 + π 4 x O y0 −y0 5分
   A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
10. 10. 已知曲线y = x4 + ax2 + 1 在点(−1, a + 2) 处切线的斜率为8, 则a =( ) 5分
    A. 9 B. 6 C. −9 D. −6
11. 11. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) 3 (B) √ 3 3 (C) √ 2 3 3 5分
    A. 2 D. 1
12. 12. 已知抛物线C: y2 = 8x 与点M (−2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线 与C 交于A, B 两点, 若# » MA · # » MB = 0, 则k = ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 2 5分
    A. 1 D. 2

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设f (x) 是以2 为周期的函数, 且当x ∈[1, 3) 时, f (x) = x −2, 则 . 5分
   F. (−1) =
2. 2. 从进入决赛的6 名选手中决出1 名一等奖, 2 名二等奖, 3 名三等奖, 则可 能的决赛结果共有 种. (用数字作答) 5分
3. 3. 若x, y 满足的约束条件        x ⩾0, x + 3y ⩾4, 3x + y ⩽4, 则z = −x + y 的最小值为 . 5分
4. 4. 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径, OK = 3 2, 且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60◦, 则球O 的 表面积等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 等差数列{an} 中, a7 = 4, a19 = 2a9. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = 1 nan , 求数列{bn} 的前n 项和Sn.
2. 2. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, (a + b + c) (a −b + c) = ac. (1) 求B; (2) 若sin A sin C = √ 3 −1 4 , 求C.
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, ∠ABC = ∠BAD = 90◦, BC = 2AD, △PAB 与△PAD 都是边长为2 的等边三角形. (1) 证明: PB ⊥CD; (2) 求点A 到平面PCD 的距离. A B C D P 797
4. 4. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛, 另一人当裁判, 每局比 赛结束时, 负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为1 2, 各 局比赛的结果都相互独立, 第1 局甲当裁判. (1) 求第4 局甲当裁判的概率; (2) 求前4 局中乙恰好当1 次裁判的概率.
5. 5. 已知函数f (x) = x3 + 3ax2 + 3x + 1. (1) 当a = − √ 2 时, 讨论f (x) 的单调性; (2) 若x ∈[2, +∞) 时, f (x) ⩾0, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心率为3, 直线y = 2 与C 的两个交点间的距离为 √ 6. (1) 求a、b; (2) 设过F2 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A、B 两点, 且 |AF1| = |BF1|, 证明: |AF2|、|AB|、|BF2| 成等比数列. 798

原卷配图（含真实几何/应用题图示）