2013年大纲（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年大纲（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, M = {x | x = a + b, a ∈A, b ∈B }, 则M 中元素的个数为 ( ) 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 2. ( 1 + √ 3i )3 = ( ) 5分
   A. −8 B. 8 C. −8i D. 8i
3. 3. 已知向量m = (λ + 1, 1), n = (λ + 2, 2), 若(m + n) ⊥(m −n), 则 λ = ( ) 5分
   A. −4 B. −3 C. −2 D. −1
4. 4. 已知函数f (x) 的定义域为(−1, 0), 则函数f (2x + 1) 的定义域为 ( ) (B) ( −1, −1 2 ) (D) (1 2, 1 ) 5分
   A. (−1, 1) C. (−1, 0)
5. 5. 函数f (x) = log2 ( 1 + 1 x ) (x > 0) 的反函数f −1 (x) = ( ) (A) 1 2x −1 (x > 0) (B) 1 2x −1 (x̸ = 0) 5分
   C. 2x −1 (x ∈R) D. 2x −1 (x > 0)
6. 6. 已知数列{an} 满足3an+1 + an = 0, a2 = −4 3, 则{an} 的前10 项和等 于 ( ) 9 (1 −310) 5分
   A. −6 (1 −3−10) (B) 1 C. 3 (1 −3−10) D. 3 (1 + 3−10)
7. 7. (1 + x)8(1 + y)4 的展开式中x2y2 的系数是 ( ) 5分
   A. 56 B. 84 C. 112 D. 168
8. 8. 椭圆C: x2 4 + y2 3 = 1 的左、右顶点分别为A1、A2, 点P 在C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[−2, −1], 那么直线PA1 斜率的取值范围是 ( ) (A) [1 2, 3 4 ] (B) [3 8, 3 4 ] (C) [1 2, 1 ] (D) [3 4, 1 ] 5分
9. 9. 若函数f (x) = x2+ax+ 1 x 在 (1 2, +∞ ) 是增函数, 则a 的取值范围是( ) 5分
   A. [−1, 0] B. [−1, +∞) C. [0, 3] D. [3, +∞)
10. 10. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1 中, AA1 = 2AB, 则CD 与平面BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) 3 (B) √ 3 3 (C) √ 2 3 3 5分
    A. 2 D. 1
11. 11. 已知抛物线C: y2 = 8x 与点M (−2, 2), 过C 的焦点且斜率为k 的直线 与C 交于A, B 两点, 若# » MA · # » MB = 0, 则k = ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 2 5分
    A. 1 D. 2
12. 12. 已知函数f (x) = cos x sin 2x, 下列结论中错误的是 ( ) 2 对称 √ 3 2 5分
    A. y = f (x) 的图象关于点(π, 0) 中心对称 B. y = f (x) 的图象关于x = π C. f (x) 的最大值为 D. f (x) 既是奇函数, 又是周期函数

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知α 是第三象限角, sin α = −1 3, 则cot α = . 5分
2. 2. 6 个人排成一行, 其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种. (用数 字作答) 5分
3. 3. 记不等式组        x ⩾0, x + 3y ⩾4, 3x + y ⩽4 所表示的平面区域为D, 若直线y = a (x + 1) 与D 有公共点, 则a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆, 其公共弦长等于球O 的半径, OK = 3 2, 且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60◦, 则球O 的 表面积等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知S3 = a2 2, 且S1, S2, S4 成等比数 列, 求{an} 的通项公式.
2. 2. 设△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, (a + b + c) (a −b + c) = ac. (1) 求B; (2) 若sin A sin C = √ 3 −1 4 , 求C.
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, ∠ABC = ∠BAD = 90◦, BC = 2AD, △PAB 与△PAD 都是等边三角形. (1) 证明: PB ⊥CD; (2) 求二面角A −PD −C 的大小. A B C D P 795
4. 4. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛, 其中两人比赛, 另一人当裁判, 每局比 赛结束时, 负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为1 2, 各 局比赛的结果都相互独立, 第1 局甲当裁判. (1) 求第4 局甲当裁判的概率; (2) X 表示前4 局中乙当裁判的次数, 求X 的数学期望.
5. 5. 已知双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心率为3, 直线y = 2 与C 的两个交点间的距离为 √ 6. (1) 求a、b; (2) 设过F2 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A、B 两点, 且 |AF1| = |BF1|, 证明: |AF2|、|AB|、|BF2| 成等比数列.
6. 6. 已知函数f (x) = ln (1 + x) −x (1 + λx) 1 + x . (1) 若x ⩾0 时f (x) ⩽0, 求λ 的最小值; (2) 设数列{an} 的通项an = 1+ 1 2 + 1 3 +· · ·+ 1 n, 证明: a2n−an+ 1 4n > ln 2. 796

原卷配图（含真实几何/应用题图示）