2013年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | |x| ⩽2}, B = {x ∈R | x ⩽1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (−∞, 2] B. [1, 2] C. [−2, 2] D. [−2, 1]
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        3x + y −6 ⩾0, x −y −2 ⩽0, y −3 ⩽0, 则目标函数z = y −2x 的最 小值为 ( ) 5分
   A. −7 B. −4 C. 1 D. 2
3. 3. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n 的值为 ( ) 开始 n = 1, S = 0 S = S + (−1)n · n n = n + 1 S ⩾2? 输出n 结束 是 否 5分
   A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
4. 4. 设a, b ∈R, 则“(a −b) · a2 < 0”是“a < b”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 已知过点P (2, 2) 的直线与圆(x −1)2+y2 = 5 相切, 且与直线ax−y+1 = 0 垂直, 则a = ( ) 2 2 5分
   A. −1 B. 1 C. 2 D. 1
6. 6. 函数f (x) = sin ( 2x −π 4 ) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最小值为 ( ) √ 2 2 (C) √ 2 2 5分
   A. −1 B. − D. 0
7. 7. 已知函数f (x) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞) 上单调递增. 若实数a 满足f (log2a) + f ( log 1 2 a ) ⩽2f (1), 则a 的取值范围是 ( ) (B) ( 0, 1 2 ] (C) [1 2, 2 ] 5分
   A. [1, 2] D. (0, 2]
8. 8. 设函数f (x) = ex +x−2, g (x) = ln x+x2 −3. 若实数a, b 满足f (a) = 0, ( ) 5分
   G. (b) = 0, 则 A. g (a) < 0 < f (b) B. f (b) < 0 < g (a) C. 0 < g (a) < f (b) D. f (b) < g (a) < 0

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数(3 + i) (1 −2i) = . 5分
2. 2. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上, 若球的体积为9π 2 , 则正方体的 棱长为 . 5分
3. 3. 已知抛物线y2 = 8x 的准线过双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一个 焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 5分
4. 4. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60◦, E 为CD 的中点. 若 # » AC · # » BE = 1, 则AB 的长为 . 5分
5. 5. 如图, 在圆内接梯形ABCD 中, AB DC, 过点A 作圆的切线与CB 的 延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD 的长为 . A E B C D 5分
6. 6. 设a + b = 2, b > 0, 则 1 2 |a| + |a| . 5分
   B. 的最小值为

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z 评价该 产品的等级. 若S ⩽4, 则该产品为一等品. 现从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标列表如下: 产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 质量指标(x, y, z) (1, 1, 2) (2, 1, 1) (2, 2, 2) (1, 1, 1) (1, 2, 1) 产品编号 A6 A7 A8 A9 A10 质量指标(x, y, z) (1, 2, 2) (2, 1, 1) (2, 2, 1) (1, 1, 1) (2, 1, 2) (1) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2) 在该样本的一等品中, 随机抽取2 件产品. ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件B 为“在取出的2 件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于 4”, 求事件B 发生的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 已知b sin A = 3c sin B, 3. (1) 求b 的值; (2) 求sin ( 2B −π 3 ) 的值.
3. 3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱A1A ⊥底面ABC, 且各棱长均相 等, D, E, F 分别为棱AB, BC, A1C1 的中点. (1) 证明EF 平面A1CD; (2) 证明平面A1CD ⊥平面A1ABB1; (3) 求直线BC 与平面A1CD 所成角的正弦值. A A1 E B B1 C C1 D F 851
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 离心率为 √ 3 3 , 过点F 且 与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 √ 3 3 . (1) 求椭圆的方程; (2) 设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆 交于C, D 两点. 若# » AC · # » DB + # » AD · # » CB = 8, 求k 的值.
5. 5. 已知首项为3 2 的等比数列{an} 的前n 项和为Sn (n ∈N∗), 且−2S2, S3, 4S4 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 证明Sn + 1 Sn ⩽13 6 (n ∈N∗).
6. 6. 设a ∈[−2, 0], 已知函数f (x) =    x3 −(a + 5) x, x ⩽0, x3 −a + 3 2 x2 + ax, x > 0. (1) 证明: f (x) 在区间(−1, 1) 内单调递减, 在区间(1, +∞) 内单调递增; (2) 设曲线y = f (x) 在点Pi (xi, f (xi)) (i = 1, 2, 3) 处的切线相互平行, 且x1x2x3̸ = 0, 证明: x1 + x2 + x3 > −1 3. 852

原卷配图（含真实几何/应用题图示）