2013年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x ∈R | |x| ⩽2}, B = {x ∈R | x ⩽1}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (−∞, 2] B. [1, 2] C. [−2, 2] D. [−2, 1]
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        3x + y −6 ⩾0, x −y −2 ⩽0, y −3 ⩽0, 则目标函数z = y −2x 的最 小值为 ( ) 5分
   A. −7 B. −4 C. 1 D. 2
3. 3. 阅读如图的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值 为 ( ) 开始 输入x S = 0 S = S + x3 x = 2x S ⩾50? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 64 B. 73 C. 512 D. 585
4. 4. 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的1 2, 则其体积缩小到原来的1 8; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0 与圆x2 + y2 = 1 2 相切. 其中真命题的序号是 ( ) 5分
   A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两条渐近线与抛物线y2 = 2px (p > 0) 的准线分别交于A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 √ 3, 则p = ( ) 2 5分
   A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
6. 6. 在△ABC 中, ∠ABC = π 4 , AB = √ 2, BC = 3, 则sin ∠BAC = ( ) (A) √ 10 10 (B) √ 10 5 √ 10 10 (D) √ 5 5 5分
   C. 3
7. 7. 函数f (x) = 2x |log0.5x| −1 的零点个数为 ( ) 5分
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 8. 已知函数f (x) = x (1 + a |x|). 设关于x 的不等式f (x + a) < f (x) 的解 集为A, 若 [ −1 2, 1 2 ] ⊆A, 则实数a 的取值范围是 ( ) (A) ( 1 − √ 5 2 , 0 ) (B) ( 1 − √ 3 2 , 0 ) (C) ( 1 − √ 5 2 , 0 ) ∪ ( 0, 1 + √ 3 2 ) (D) ( −∞, 1 − √ 5 2 ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知a, b ∈R, i 是虚数单位. 若(a + i) (1 + i) = bi, 则a + bi = . 5分
2. 2. ( x −1 √x )6 的二项展开式中的常数项为 . 5分
3. 3. 已知圆的极坐标方程为ρ = 4 cos θ, 圆心为C, 点P 的极坐标为 ( 4, π 3 ) , 则|CP| = . 5分
4. 4. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, ∠BAD = 60◦, E 为CD 的中点. 若 # » AC · # » BE = 1, 则AB 的长为 . 5分
5. 5. 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD AC. 过点A 作 圆的切线与DB 的延长线交于点E, AD 与BC 交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 . A E B F C D 5分
6. 6. 设a + b = 2, b > 0, 则当a = 时, 1 2 |a| + |a| 5分
   B. 取得最小值.

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = − √ 2 sin ( 2x + π 4 ) + 6 sin x cos x −2cos2x + 1, x ∈R. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 一个盒子里装有7 张卡片, 其中有红色卡片4 张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白 色卡片3 张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4 张卡片(假设取到任何 一张卡片的可能性相同). (1) 求取出的4 张卡片中, 含有编号为3 的卡片的概率. (2) 在取出的4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.
3. 3. 如图所示, 在四棱柱ABCD − A1B1C1D1 中, 侧棱A1A ⊥底面ABCD, AB DC, AB ⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 为棱AA1 的中 点. (1) 证明: B1C1 ⊥CE; (2) 求二面角B1 −CE − C1 的平面角的正弦值; (3) 设点M 在线段C1E 上, 且直线AM 与平面ADD1A1 所成角的正弦 值为 √ 2 6 , 求线段AM 的长. A A1 E B B1 C C1 D D1 849
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, 离心率为 √ 3 3 , 过点F 且 与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 √ 3 3 . (1) 求椭圆的方程; (2) 设A, B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆 交于C, D 两点. 若# » AC · # » DB + # » AD · # » CB = 8, 求k 的值.
5. 5. 已知首项为3 2 的等比数列{an} 不是递减数列, 其前n 项和为Sn (n ∈N∗), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4 成等差数列. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设Tn = Sn −1 Sn (n ∈N∗), 求数列{Tn} 的最大项的值与最小项的值.
6. 6. 已知函数f (x) = x2 ln x. (1) 求函数f (x) 的单调区间; (2) 证明: 对任意的t > 0, 存在唯一的s, 使t = f (s); (3) 设(2) 中所确定的s 关于t 的函数为s = g (t), 证明: 当t > e2 时, 有 2 5 < ln g (t) ln t < 1 2. 850

原卷配图（含真实几何/应用题图示）