2013年安徽（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年安徽（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设i 是虚数单位, z 是复数z 的共轭复数, 若z · zi + 2 = 2z, 则z = ( ) 5分
   A. 1 + i B. 1 −i C. −1 + i D. −1 −i
2. 2. 如图所示, 程序框图(算法流程图) 的输出结果是 ( ) 开始 s = 0, n = 2 n < 8? s = s + 1 n n = n + 2 输出s 结束 是 否 6 24 4 12 5分
   A. 1 B. 25 C. 3 D. 11
3. 3. 在下列命题中, 不是公理的是 ( ) 此平面内 的公共直线 5分
   A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B. 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点
4. 4. “a ⩽0”是“函数f (x) = |(ax −1) x| 在区间(0, +∞) 内单调递增”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 某班级有50 名学生, 其中有30 名男生和20 名女生, 随机询问了该班五名 男生和五名女生在某次数学测验中的成绩, 五名男生的成绩分别为86、94、 88、92、90, 五名女生的成绩分别为88、93、93、88、93. 下列说法一定正 确的是 ( ) 5分
   A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
6. 6. 已知一元二次不等式f (x) < 0 的解集为 { x  x < −1 或x > 1 2 } , 则 ( ) 5分
   F. (10x) > 0 的解集为 A. {x | x < −1 或x > −lg 2} B. {x | −1 < x < −lg 2} C. {x | x > −lg 2} D. {x | x < −lg 2}
7. 7. 在极坐标系中, 圆ρ = 2 cos θ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( ) 2 (ρ ∈R) 和ρ cos θ = 2 2 (ρ ∈R) 和ρ cos θ = 1 5分
   A. θ = 0 (ρ ∈R) 和ρ cos θ = 2 B. θ = π C. θ = π D. θ = 0 (ρ ∈R) 和ρ cos θ = 1
8. 8. 函数y = f (x) 的图象如图所示, 在区间[a, b] 上可找到n (n ⩾2) 个不同 的数x1, x2, · · · , xn, 使得f (x1) x1 = f (x2) x2 = · · · = f (xn) xn , 则n 的取值范 围为 ( ) x y O a b 5分
   A. {2, 3} B. {2, 3, 4} C. {3, 4} D. {3, 4, 5}
9. 9. 在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, 两定点A, B 满足 # » OA  = # » OB  = # » OA · # » OB = 2, 则点集 { P  # » OP = λ# » OA + µ# » OB, |λ| + |µ| ⩽1, λ, µ ∈R } 所表示的区域的面积是 ( ) √ 2 √ 3 √ 2 √ 3 5分
   A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
10. 10. 若函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c 有极值点x1, x2, 且f (x1) = x1, 则关于 x 的方程3(f (x))2 + 2af (x) + b = 0 的不同实根个数是 ( ) 5分
    A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若 ( x + a 3√x )8 的展开式中x4 的系数为7, 则实数a = . 5分
2. 2. 设△ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别为a, b, c. 若b + c = 2a, 3 sin A = 5 sin B, 则角C = . 5分
3. 3. 已知直线y = a 交抛物线y = x2 于A, B 两点. 若该抛物线上存在点C, 使得∠ACB 为直角, 则a 的取值范围为 . 5分
4. 4. 如图, 互不相同的点A1, A2, · · · , An, · · · 和B1, B2, · · · , Bn, · · · 分别在 角O 的两条边上, 所有AnBn 相互平行, 且所有梯形AnBnBn+1An+1 的 面积均相等. 设OAn = an. 若a1 = 1, a2 = 2, 则数列{an} 的通项公式 是 . O A1 A2 A3 B1 B2 B3 5分
5. 5. 如图, 正方体ABCD −A1B1C1D1 的棱长为1, P 为BC 中点, Q 为线段 CC1 上的动点, 过A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S, 则下列 命题正确的是 . (写出所有正确命题的编号) A B P Q C D A1 B1 C1 D1 • • ①当0 < CQ < 1 2 时, S 为四边形; ②当CQ = 1 2 时, S 为等腰梯形; ③当CQ = 3 4 时, S 与C1D1 交点R 满足C1R = 1 3; ④当3 4 < CQ < 1 时, S 为六边形; ⑤当CQ = 1 时, S 的面积为 √ 6 2 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = 4 cos ωx · sin ( ωx + π 4 ) (ω > 0) 的最小正周期为π. (1) 求ω 的值; (2) 讨论f (x) 在区间 [ 0, π 2 ] 上的单调性.
2. 2. 设函数f (x) = ax −(1 + a2) x2, 其中a > 0, 区间I = {x | f (x) > 0}. (1) 求I 的长度(注: 区间(α, β) 的长度定义为β −α); (2) 给定常数k ∈(0, 1), 当1 −k ⩽a ⩽1 + k 时, 求I 长度的最小值. 783
3. 3. 设椭圆E: x2 a2 + y2 1 −a2 = 1 的焦点在x 轴上. (1) 若椭圆E 的焦距为1, 求椭圆E 的方程; (2) 设F1, F2 分别是椭圆E 的左、右焦点, P 为椭圆E 上第一象限内的 点, 直线F2P 交y 轴于点Q, 并且F1P ⊥F1Q, 证明: 当a 变化时, 点P 在某定直线上.
4. 4. 如图, 圆锥顶点为P. 底面圆心为O, 其母线与底面所成的角为22.5◦. AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦, 轴OP 与平面PCD 所成的角为 60◦. (1) 证明: 平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (2) 求cos ∠COD. O C D P B A •
5. 5. 设函数fn (x) = −1 + x + x2 22 + x3 32 + · · · + xn n2 (x ∈R, n ∈N∗). 证明: (1) 对每个n ∈N∗, 存在唯一的xn ∈ [2 3, 1 ] , 满足fn (xn) = 0; (2) 对任意p ∈N∗, 由(1) 中xn 构成的数列{xn} 满足0 < xn−xn+p < 1 n.
6. 6. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动, 分 别由李老师和张老师负责, 已知该系共有n 位学生, 每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数). 假设李老师和张老师分别将各自 活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生, 且所发信息都能收到. 记 该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X. (1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (2) 求使P (X = m) 取得最大值的整数m. 784

原卷配图（含真实几何/应用题图示）