2013年山东（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年山东（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z = (2 −i)2 i (i 为虚数单位), 则|z| = ( ) (B) √ 41 (D) √ 5 5分
   A. 25 C. 5
2. 2. 已知集合A, B 均为全集U = {1, 2, 3, 4} 的子集, 且∁U (A ∪B) = {4}, ( ) 5分
   B. = {1, 2}, 则A ∩∁UB = A. {3} B. {4} C. {3, 4} D. ∅
3. 3. 已知函数f (x) 为奇函数, 且当x > 0 时, f (x) = x2 + 1 x, 则f (−1) =( ) 5分
   A. 2 B. 1 C. 0 D. −2
4. 4. 一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形, 其正(主) 视图如图所示, 则该 四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) 2 2 √ 5, 8 √ 5, 8 3 (√ 5 + 1 ) , 8 3 (D) 8, 8 5分
   A. 4 B. 4 C. 4
5. 5. 函数f (x) = √1 −2x + 1 √x + 3 的定义域为 ( ) 5分
   A. (−3, 0] B. (−3, 1] C. (−∞, −3) ∪(−3, 0] D. (−∞, −3) ∪(−3, 1]
6. 6. 执行两次如图所示的程序框图, 若第一次输入的a 的值为−1.2, 第二次输 入的a 的值为1.2, 则第一次, 第二次输出的a 的值分别为 ( ) 开始 输入a 输出a 结束 否 否 是 是 5分
   A. < 0 A. = a + 1 A. ⩾1 A. = a −1 A. 0.2, 0.2 B. 0.2, 0.8 C. 0.8, 0.2 D. 0.8, 0.8
7. 7. △ABC 的内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 若B = 2A, a = 1, √ 3, 则c = ( ) √ 3 (C) √ 2 5分
   B. = A. 2 B. 2 D. 1
8. 8. 给定两个命题p、q, 若¬p 是q 的必要而不充分条件, 则p 是¬q 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 9. 函数y = x cos x + sin x 的图象大致为 ( ) (A) x y O π (B) x y O π (C) x y O π (D) x y O π 5分
10. 10. 将某选手的9 个得分去掉1 个最高分, 去掉1 个最低分, 7 个剩余分数的 平均分为91, 现场作的9 个分数的茎叶图后来有1 个数据模糊, 无法辨认, 在图中以x 表示: 8 7 7 9 4 0 1 0 x 9 1 则7 个剩余分数的方差为 ( ) 9 7 √ 7 7 5分
    A. 116 B. 36 C. 36 D. 6
11. 11. 抛物线C1: y = 1 2px2 (p > 0) 的焦点与双曲线C2: x2 3 −y2 = 1 的右焦点 的连线交C1 于第一象限的点M. 若C1 在点M 处的切线平行于C2 的一 条渐近线, 则p = ( ) (A) √ 3 16 (B) √ 3 8 √ 3 3 √ 3 3 5分
    C. 2 D. 4
12. 12. 设正实数x, y, z 满足x2 −3xy + 4y2 −z = 0, 则当 z xy 取得最小值时, x + 2y −z 的最大值为 ( ) 8 4 5分
    A. 0 B. 9 C. 2 D. 9

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 过点(3, 1) 作圆(x −2)2 + (y −2)2 = 4 的弦, 其中最短弦的长为 . 5分
2. 2. 在平面直角坐标系xOy 中, M 为不等式组        2x + 3y −6 ⩽0, x + y −2 ⩾0, y ⩾0 所表示的 区域上一动点, 则|OM| 的最小值是 . 5分
3. 3. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知# » OA = (−1, t), # » OB = (2, 2), 若∠ABO = 90◦, 则实数t 的值为 . 5分
4. 4. 定义“正对数”: ln+x = { 0, 0 < x < 1, ln x, x ⩾1, 现有四个命题: ①若a > 0, b > 0, 则ln+ ( ab) = bln+a; ②若a > 0, b > 0, 则ln+ (ab) = ln+a + ln+b; ③若a > 0, b > 0, 则ln+ (a b ) ⩾ln+a −ln+b; ④若a > 0, b > 0, 则ln+ (a + b) ⩽ln+a + ln+b + ln 2. 其中真命题有 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某小组共有A, B, C, D, E 五位同学, 他们的身高(单位: 米) 及体重指标 (单位: 千克/米 2) 如下表所示: A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 体重指标 19.2 25.1
2. 2. 5 23.3 20.9 (1) 从该小组身高低于1.80 的同学中任选2 人, 求选到的2 人身高都在 1.78 以下的概率; (2) 从该小组同学中任选2 人, 求选到的2 人的身高都在1.70 以上且体重 指标都在[18.5, 23.9) 中的概率. 835 18. 设函数f (x) = √ 3 2 − √ 3sin2ωx −sin ωx cos ωx (ω > 0), 且y = f (x) 图象 的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π 4 . (1) 求ω 的值; (2) 求f (x) 在区间 [ π, 3π 2 ] 上的最大值和最小值.
3. 3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, AB ⊥AC, AB ⊥PA, AB CD, AB = 2CD, E, F, G, M, N 分别为PB, AB, BC, PD, PC 的中点. (1) 求证: CE 平面PAD; (2) 求证: 平面EFG ⊥平面EMN. A M B P E N F G D C
4. 4. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 且S4 = 4S2, a2n = 2an + 1. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 若数列{bn} 满足b1 a1 + b2 a2 + · · · + bn an = 1 −1 2n , n ∈N∗, 求{bn} 的前 n 项和Tn.
5. 5. 已知函数f (x) = ax2 + bx −ln x (a, b ∈R). (1) 设a ⩾0, 求f (x) 的单调区间; (2) 设a > 0, 且对任意x > 0, f (x) ⩾f (1), 试比较ln a 与−2b 的大小.
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知椭圆C 的中心在原点O, 焦点在x 轴上, 短轴长为2, 离心率为 √ 2 2 . (1) 求椭圆C 的方程; (2) A, B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为 √ 6 4 的任意两点, E 为线段 AB 的中点, 射线OE 交椭圆C 于点P. 设# » OP = t# » OE, 求实数t 的值. 836

原卷配图（含真实几何/应用题图示）