2013年山东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年山东（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z 满足(z −3) (2 −i) = 5 (i 为虚数单位), 则z 的共轭复数z 为( ) 5分
   A. 2 + i B. 2 −i C. 5 + i D. 5 −i
2. 2. 设集合A = {0, 1, 2}, 则集合B = {x −y | x ∈A, y ∈A} 中元素的个数 是 ( ) 5分
   A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
3. 3. 已知函数f (x) 为奇函数, 且当x > 0 时, f (x) = x2 + 1 x, 则f (−1) =( ) 5分
   A. −2 B. 0 C. 1 D. 2
4. 4. 已知三棱柱ABC −A1B1C1 的侧棱与底面垂直, 体积为9 4, 底面是边长为 √ 3 的正三角形, 若P 为底面A1B1C1 的中心, 则PA 与平面ABC 所成 角的大小为 ( ) 12 3 4 6 5分
   A. 5π B. π C. π D. π
5. 5. 将函数y = sin (2x + φ) 的图象沿x 轴向左平移π 8 个单位后, 得到一个偶 函数的图象, 则φ 的一个可能取值为 ( ) 4 4 4 5分
   A. 3π B. π C. 0 D. −π
6. 6. 在平面直角坐标系xOy 中, M 为不等式组        2x −y −2 ⩾0, x + 2y −1 ⩾0, 3x + y −8 ⩽0 所表示的区 域上一动点, 则直线OM 斜率的最小值为 ( ) 3 2 5分
   A. 2 B. 1 C. −1 D. −1
7. 7. 给定两个命题p、q, 若¬p 是q 的必要而不充分条件, 则p 是¬q 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 函数y = x cos x + sin x 的图象大致为 ( ) (A) x y O π (B) x y O π (C) x y O π (D) x y O π 5分
9. 9. 过点(3, 1) 作圆(x −1)2 + y2 = 1 的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线 AB 的方程为 ( ) 5分
   A. 2x + y −3 = 0(B) 2x −y −3 = 0(C) 4x −y −3 = 0(D) 4x + y −3 = 0
10. 10. 用0, 1, · · · , 9 〸个数字, 可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) 5分
    A. 243 B. 252 C. 261 D. 279
11. 11. 抛物线C1: y = 1 2px2 (p > 0) 的焦点与双曲线C2: x2 3 −y2 = 1 的右焦点 的连线交C1 于第一象限的点M. 若C1 在点M 处的切线平行于C2 的一 条渐近线, 则p = ( ) (A) √ 3 16 (B) √ 3 8 √ 3 3 √ 3 3 5分
    C. 2 D. 4
12. 12. 设正实数x, y, z 满足x2 −3xy + 4y2 −z = 0, 则当xy z 取得最大值时, 2 x + 1 y −2 z 的最大值为 ( ) 4 5分
    A. 0 B. 1 C. 9 D. 3

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 执行如下的程序框图, 若输入的ε 的值为0.25, 则输出的n 的值为 . 开始 输入ε (ε > 0) F0 = 1, F1 = 2, n = 1 F1 = F0 + F1 F0 = F1 −F0 n = n + 1 1 F1 ⩽ε 输出n 结束 是 否 5分
2. 2. 在区间[−3, 3] 上随机取一个数x, 使得|x + 1| −|x −2| ⩾1 成立的概率 为 . 5分
3. 3. 已知向量# » AB 与# » AC 的夹角为120◦, 且 # » AB  = 3, # » AC  = 2. 若 # » AP = λ# » AB + # » AC, 且# » AP ⊥# » BC, 则实数λ 的值为 . 5分
4. 4. 定义“正对数”: ln+x = { 0, 0 < x < 1, ln x, x ⩾1, 现有四个命题: ①若a > 0, b > 0, 则ln+ ( ab) = bln+a; ②若a > 0, b > 0, 则ln+ (ab) = ln+a + ln+b; ③若a > 0, b > 0, 则ln+ (a b ) ⩾ln+a −ln+b; ④若a > 0, b > 0, 则ln+ (a + b) ⩽ln+a + ln+b + ln 2. 其中真命题有 . (写出所有真命题的编号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 且a + c = 6, b = 2, cos B = 7 9. (1) 求a, c 的值; (2) 求sin (A −B) 的值.
2. 2. 如图所示, 在三棱锥P −ABQ 中, PB ⊥平面ABQ, BA = BP = BQ, D, C, E, F 分别是AQ, BQ, AP, BP 的中点, AQ = 2BD, PD 与EQ 交于点G, PC 与FQ 交于点H, 连接GH. (1) 求证: AB GH; (2) 求二面角D −GH −E 的余弦值. A Q B P E H F G D C 833
3. 3. 甲、乙两支排球队进行比赛, 约定先胜3 局者获得比赛的胜利, 比赛随即 结束. 除第五局甲队获胜的概率是1 2 外, 其余每局比赛甲队获胜的概率都 是2 3. 假设每局比赛结果互相独立. (1) 分别求甲队以3 : 0, 3 : 1, 3 : 2 胜利的概率; (2) 若比赛结果为3 : 0 或3 : 1, 则胜利方得3 分, 对方得0 分; 若比赛结果 为3 : 2, 则胜利方得2 分、对方得1 分, 求乙队得分X 的分布列及数学期望.
4. 4. 设等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 且S4 = 4S2, a2n = 2an + 1. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 设数列{bn} 的前n 项和Tn, 且Tn + an + 1 2n = λ (λ 为常数), 令 cn = b2n (n ∈N∗). 求数列{cn} 的前n 项和Rn.
5. 5. 设函数f (x) = x e2x + c (e = 2.71828 · · · 是自然对数的底数, c ∈R). (1) 求f (x) 的单调区间、最大值; (2) 讨论关于x 的方程|ln x| = f (x) 根的个数.
6. 6. 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别是F1, F2, 离心率为 √ 3 2 , 过F1 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点, 连接PF1, PF2. 设∠F1PF2 的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m, 0), 求m 的取值范围; (3) 在(2) 的条件下, 过点P 作斜率为k 的直线l, 使得l 与椭圆C 有且 只有一个公共点. 设直线PF1, PF2 的斜率分别为k1, k2, 若k̸ = 0, 试证 明 1 kk1 + 1 kk2 为定值, 并求出这个定值. 834

原卷配图（含真实几何/应用题图示）