本卷为官方高考数学真题（2013年广东（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 设集合S = {x | x2 + 2x = 0, x ∈R}, T = {x | x2 −2x = 0, x ∈R}, 则
S ∩T =
(
) 5分
A. {0}
B. {0, 2}
C. {−2, 0}
D. {−2, 0, 2}
-
2. 函数y = lg (x + 1)
x −1
的定义域是
(
) 5分
A. (−1, +∞)
B. [−1, +∞)
C. (−1, 1) ∪(1, +∞)
D. [−1, 1) ∪(1, +∞)
-
3. 若i (x + yi) = 3 + 4i, x, y ∈R, 则复数x + yi 的模是
(
) 5分
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
-
4. 已知sin
(5π
2 + α
)
= 1
5, 那么cos α =
(
)
5
5
5
5 5分
A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
-
5. 执行如图所示的程序框图, 若输入n 的值为3, 则输出s 的值是
(
)
开始
输入n
i = 1, s = 1
i ⩽n
s = s + (i −1)
i = i + 1
输出s
结束
是
否 5分
A. 1
B. 2
C. 4
D. 7
-
6. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积是
(
)
1
1
2
正视图
俯视图
侧视图
6
3
3 5分
A. 1
B. 1
C. 2
D. 1
-
7. 垂直于直线y = x + 1 且与圆x2 + y2 = 1 相切于第一象限的直线方程
是
(
)
√
2 = 0
√
2 = 0 5分
A. x + y −
B. x + y + 1 = 0
C. x + y −1 = 0
D. x + y +
-
8. 设l 为直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是
(
)
α, l
β, 则α
β
β
β, 则α
β
α, 则l ⊥β 5分
A. 若l
B. 若l ⊥α, l ⊥β, 则α
C. 若l ⊥α, l
D. 若α ⊥β, l
-
9. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1, 0), 离心率等于1
2, 则C 的方
程是
(
)
3 + y2
4 = 1
4 + y2
√
3 = 1
4 + y2
2 = 1
4 + y2
3 = 1 5分
A. x2
B. x2
C. x2
D. x2
-
10. 设a 是已知的平面向量且a̸ = 0. 关于向量a 的分解, 有如下四个命题:
①给定向量b, 总存在向量c, 使a = b + c;
②给定向量b 和c, 总存在实数λ 和µ, 使a = λb + µc;
③给定单位向量b 和正数µ, 总存在单位向量c 和实数λ, 使a = λb+µc;
④给定正数λ 和µ, 总存在单位向量b 和单位向量c, 使a = λb + µc.
上述命题中的向量b, c 和a 在同一平面内且两两不共线, 则真命题的个数
是
(
) 5分
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
-
1. 设数列{an} 是首项为1, 公比为−2 的等比数列, 则a1 + |a2| + a3 +
|a4| =
. 5分
-
2. 若曲线y = ax2 −ln x 在点(1, a) 处的切线平行于x 轴, 则a =
. 5分
-
3. 已知变量x, y 满足约束条件
x −y + 3 ⩾0,
−1 ⩽x ⩽1,
y ⩾1,
则z = x + y 的最大值
是
. 5分
-
4. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ = 2 cos θ, 以极点为原点, 极轴为x 轴的正
半轴建立直角坐标系, 则曲线C 的参数方程为
. 5分
-
5. 如图, 在矩形ABCD 中, AB =
√
3, BC = 3, BE ⊥AC, 垂足为E, 则
ED =
.
A
B
C
D
E 5分
-
1. 已知函数f (x) =
√
2 cos
(
x −π
12
)
, x ∈R.
(1) 求f
(π
3
)
的值;
(2) 若cos θ = 3
5, θ ∈
(3π
2 , 2π
)
, 求f
(
θ −π
6
)
.
-
2. 从一批苹果中, 随机抽取50 个, 其重量(单位: 克) 的频数分布表如下:
分组(重量)
[80, 85)
[85, 90)
[90, 95)
[95, 100)
频数
5
10
20
15
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90, 95) 的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80, 85) 和[95, 100) 的苹果中共抽取4 个,
其中重量在[80, 85) 的有几个?
(3) 在(2) 中抽出的4 个苹果中, 任取2 个, 求重量在[80, 85) 和[95, 100)
中各有1 个的概率.
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3. 如图①, 在边长为1 的等边三角形ABC 中, D, E 分别是AB, AC 上的
点, AD = AE, F 是BC 的中点, AF 与DE 交于点G, 将△ABF 沿AF
折起, 得到如图②所示的三棱锥A −BCF, 其中BC =
√
2
2 .
(1) 证明: DE
平面BCF;
(2) 证明: CF ⊥平面ABF;
(3) 当AD = 2
3 时, 求三棱锥F −DEG 的体积VF −DEG.
图①
A
F
B
C
G
E
D
F
图②
A
G
E
B
C
D
-
4. 设各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn, 满足4Sn = a2
n+1 −4n−1,
n ∈N∗, 且a2, a5, a14 构成等比数列.
(1) 证明: a2 = √4a1 + 5;
(2) 求数列{an} 的通项公式;
(3) 证明: 对一切正整数n, 有
1
a1a2
+
1
a2a3
+ · · · +
1
anan+1
< 1
2.
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5. 已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F (0, c) (c > 0) 到直线l: x−y−2 = 0
的距离为3
√
2
2 . 设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线
PA, PB, 其中A, B 为切点.
(1) 求抛物线C 的方程;
(2) 当点P (x0, y0) 为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程;
(3) 当点P 在直线l 上移动时, 求|AF| · |BF| 的最小值.
-
6. 设函数f (x) = x3 −kx2 + x (x ∈R).
(1) 当k = 1 时, 求函数f (x) 的单调区间;
(2) 当k < 0 时, 求函数f (x) 在[k, −k] 上的最小值m 和最大值M.
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