2013年广东（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年广东（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 设集合M = {x | x2 + 2x = 0, x ∈R}, N = {x | x2 −2x = 0, x ∈R}, 则 M ∪N = ( ) 5分
   A. {0} B. {0, 2} C. {−2, 0} D. {−2, 0, 2}
2. 2. 定义域为R 的四个函数y = x3, y = 2x, y = x2 + 1, y = 2 sin x 中, 奇函 数的个数是 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 3. 若复数z 满足iz = 2 + 4i, 则在复平面内, z 对应的点的坐标是 ( ) 5分
   A. (2, 4) B. (2, −4) C. (4, −2) D. (4, 2)
4. 4. 已知离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P 3 5 3 10 1 10 则X 的数学期望E (X) = ( ) 2 2 5分
   A. 3 B. 2 C. 5 D. 3
5. 5. 某四棱台的三视图如图所示, 则该四棱台的体积是 ( ) 2 2 1 1 1 正视图 俯视图 侧视图 3 3 5分
   A. 4 B. 14 C. 16 D. 6
6. 6. 设m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 下列命题中正确的 是 ( ) β, m ⊂α, n ⊂β, 则m n n, n β, 则α ⊥β 5分
   A. 若α ⊥β, m ⊂α, n ⊂β, 则m ⊥n B. 若α C. 若m ⊥n, m ⊂α, n ⊂β, 则α ⊥β D. 若m ⊥α, m
7. 7. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3, 0), 离心率等于3 2, 则C 的 方程是 ( ) 4 −y2 √ 5 = 1 (B) x2 4 −y2 5 = 1 2 −y2 5 = 1 2 −y2 √ 5 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
8. 8. 设整数n ⩾ 4, 集合X = {1, 2, 3, · · · , n}. 令集合S = {(x, y, z) | x, y, z ∈X, 且三条件x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一 个成立}, 若(x, y, z) 和(z, w, x) 都在S 中, 则下列选项正确的是 ( ) 5分
   A. (y, z, w) ∈S, (x, y, w) /∈S B. (y, z, w) ∈S, (x, y, w) ∈S C. (y, z, w) /∈S, (x, y, w) ∈S D. (y, z, w) /∈S, (x, y, w) /∈S

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 不等式x2 + x −2 < 0 的解集为 . 5分
2. 2. 若曲线y = kx + ln x 在点(1, k) 处的切线平行于x 轴, 则k = . 5分
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 若输入n 的值为4, 则输出s 的值为 . 开始 输入n i = 1, s = 1 i ⩽n s = s + (i −1) i = i + 1 输出s 结束 是 否 5分
4. 4. 在等差数列{an} 中, 已知a3 + a8 = 10, 则3a5 + a7 = . 5分
5. 5. 给定区域D :        x + 4y ⩾4, x + y ⩽4, x ⩾0, 令点集T = {(x0, y0) ∈D | x0, y0 ∈Z, (x0, y0) 是z = x + y 在D 上取得最大值或最小值的点}, 则T 中的点共确 定 条不同的直线. 5分
6. 6. 已知曲线C 的参数方程为 { x = √ 2 cos t, y = √ 2 sin t, (t 为参数), C 在点(1, 1) 处的 切线为l, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l 的 极坐标方程为 . 5分
7. 7. 如图, AB 是圆O 的直径, 点C 在圆O 上, 延长BC 到D 使BC = CD, 过C 作圆O 的切线交AD 于E. 若AB = 6, ED = 2, 则BC = . A B C D E O • 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = √ 2 cos ( x −π 12 ) , x ∈R. (1) 求f ( −π 6 ) 的值; (2) 若cos θ = 3 5, θ ∈ (3π 2 , 2π ) , 求f ( 2θ + π 3 ) .
2. 2. 某车间共有12 名工人, 随机抽取6 名, 他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示, 其中茎为〸位数, 叶为个位数. 1 7 9 2 0 1 5 3 0 (1) 根据茎叶图计算样本均值; (2) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 根据茎叶图推断该 车间12 名工人中有几名优秀工人? (3) 从该车间12 名工人中, 任取2 人, 求恰有1 名优秀工人的概率. 803
3. 3. 如图①, 在等腰直角三角形ABC 中, ∠A = 90◦, BC = 6, D, E 分别是 AC, AB 上的点, CD = BE = √ 2, O 为BC 的中点. 将△ADE 沿DE 折起, 得到下图②所示的四棱锥A′ −BCDE, 其中A′O = √ 3. (1) 证明: A′O ⊥平面BCDE; (2) 求二面角A′ −CD −B 的平面角的余弦值. 图① A O B C D E • O A′ E B D C 图②
4. 4. 设数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知a1 = 1, 2Sn n = an+1 −1 3n2 −n −2 3, n ∈N∗. (1) 求a2 的值; (2) 求数列{an} 的通项公式; (3) 证明: 对一切正整数n, 有1 a1 + 1 a2 + · · · + 1 an < 7 4.
5. 5. 已知抛物线C 的顶点为原点, 其焦点F (0, c) (c > 0) 到直线l: x−y−2 = 0 的距离为3 √ 2 2 . 设P 为直线l 上的点, 过点P 作抛物线C 的两条切线 PA, PB, 其中A, B 为切点. (1) 求抛物线C 的方程; (2) 当点P (x0, y0) 为直线l 上的定点时, 求直线AB 的方程; (3) 当点P 在直线l 上移动时, 求|AF| · |BF| 的最小值.
6. 6. 设函数f (x) = (x −1) ex −kx2 (k ∈R). (1) 当k = 1 时, 求函数f (x) 的单调区间; (2) 当k ∈ (1 2, 1 ] 时, 求函数f (x) 在[0, k] 上的最大值M. 804

原卷配图（含真实几何/应用题图示）