2013年新课标卷1（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年新课标卷1（理科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 一批产品需要进行质量检验, 检验方案是: 先从这批产品中任取4 件作检 验, 这4 件产品中优质品的件数记为n. 如果n = 3, 再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品, 则这批产品通过检验; 如果n = 4, 再从这批产 品中任取1 件作检验, 若为优质品, 则这批产品通过检验; 其他情况下, 这 批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为50%, 即取出的产品 是优质品的概率都为1 2, 且各件产品是否为优质品相互独立. (1) 求这批产品通过检验的概率; (2) 已知每件产品检验费用为100 元, 凡抽取的每件产品都需要检验, 对这 批产品作质量检验所需的费用记为X (单位: 元), 求X 的分布列及数学期 望.
2. 2. 已知圆M: (x + 1)2 + y2 = 1, 圆N: (x −1)2 + y2 = 9, 动圆P 与圆M 外 切并与圆N 内切, 圆心P 的轨迹为曲线C. (1) 求C 的方程; (2) l 是与圆P, 圆M 都相切的一条直线, l 与曲线C 交于A, B 两点, 当 圆P 的半径最长时, 求|AB|.
3. 3. 设函数f (x) = x2 + ax + b, g (x) = ex (cx + d), 若曲线y = f (x) 和曲线 y = g (x) 都过点P (0, 2), 且在点P 处有相同的切线y = 4x + 2. (1) 求a, b, c, d 的值; (2) 若x ⩾−2 时, f (x) ⩽kg (x), 求k 的取值范围.
4. 4. 如图, 直线AB 为圆的切线, 切点为B, 点C 在圆上, ∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点E, DB 垂直BE 交圆于D. (1) 证明: DB = DC; (2) 设圆的半径为1, BC = √ 3, 延长CE 交AB 于点F, 求△BCF 外接 圆的半径. A B E F D C
5. 5. 已知曲线C1 的参数方程为 { x = 4 + 5 cos t, y = 5 + 5 sin t, (t 为参数), 以坐标原点 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2 的极坐标方程为 ρ = 2 sin θ. (1) 把C1 的参数方程化为极坐标方程; (2) 求C1 与C2 交点的极坐标(ρ ⩾0, 0 ⩽θ < 2π).
6. 6. 已知函数f (x) = |2x −1| + |2x + a|, g (x) = x + 3. (1) 当a = −2 时, 求不等式f (x) < g (x) 的解集; (2) 设a > −1, 且当x ∈ [ −a 2, 1 2 ) 时, f (x) ⩽g (x), 求a 的取值范围. 826

原卷配图（含真实几何/应用题图示）