本卷为官方高考数学真题（2013年新课标卷2（文科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 已知集合M = {x | −3 < x < 1}, N = {−3, −2, −1, 0, 1}, 则M ∩
N =
(
) 5分
A. {−2, −1, 0, 1}
B. {−3, −2, −1, 0}
C. {−2, −1, 0}
D. {−3, −2, −1}
-
2. 2
1 + i
=
(
)
√
2
(C)
√
2 5分
A. 2
B. 2
D. 1
-
3. 设x, y 满足约束条件
x −y + 1 ⩾0,
x + y −1 ⩾0,
x ⩽3,
则z = 2x −3y 的最小值是
(
) 5分
A. −7
B. −6
C. −5
D. −3
-
4. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知b = 2, B = π
6 , C = π
4 ,
则△ABC 的面积为
(
)
√
3 + 2
(B)
√
3 + 1
√
3 −2
(D)
√
3 −1 5分
A. 2
C. 2
-
5. 设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, P 是C
上的点, PF2 ⊥F1F2, ∠PF1F2 = 30◦, 则C 的离心率为
(
)
(A)
√
3
6
3
2
(D)
√
3
3 5分
B. 1
C. 1
-
6. 已知sin 2α = 2
3, 则cos2 (
α + π
4
)
=
(
)
6
3
2
3 5分
A. 1
B. 1
C. 1
D. 2
-
7. 执行如图的程序框图, 如果输入的N = 4, 那么输出的S =
(
)
2 + 1
3 + 1
4
2 +
1
3 × 2 +
1
4 × 3 × 2
2 + 1
3 + 1
4 + 1
5
2 +
1
3 × 2 +
1
4 × 3 × 2 +
1
5 × 4 × 3 × 2
开始
输入N
k = 1, S = 0, T = 1
T = T
k
S = S + T
k = k + 1
k > N
输出S
结束
是
否 5分
A. 1 + 1
B. 1 + 1
C. 1 + 1
D. 1 + 1
-
8. 设a = log32, b = log52, c = log23, 则
(
) 5分
A. a > c > b
B. b > c > a
C. c > b > a
D. c > a > b
-
9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O −xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1),
(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx 平面
为投影面, 则得到正视图可以为
(
)
(A)
(B)
(C)
(D) 5分
-
10. 设抛物线C: y2 = 4x 的焦点为F, 直线l 过F 且与C 交于A, B 两点,
若|AF| = 3 |BF|, 则l 的方程为
(
)
√
3
3 (x −1) 或y = −
√
3
3 (x −1)
√
3 (x −1) 或y = −
√
3 (x −1)
√
2
2 (x −1) 或y = −
√
2
2 (x −1) 5分
A. y = x −1 或y = −x + 1
B. y =
C. y =
D. y =
-
11. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 下列结论中错误的是
(
) 5分
A. ∃x0 ∈R, f (x0) = 0
B. 函数y = f (x) 的图象是中心对称图形
C. 若x0 是f (x) 的极小值点, 则f (x) 在区间(−∞, x0) 单调递减
D. 若x0 是f (x) 的极值点, 则f ′ (x0) = 0
-
12. 若存在正数x 使2x (x −a) < 1 成立, 则a 的取值范围是
(
) 5分
A. (−∞, +∞)
B. (−2, +∞)
C. (0, +∞)
D. (−1, +∞)
-
1. 已知等差数列{an} 的公差不为零, a1 = 25, 且a1, a11, a13 成等比数列.
(1) 求{an} 的通项公式;
(2) 求a1 + a4 + a7 + · · · + a3n−2.
-
2. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, D, E 分别是AB, BB1 的中点.
(1) 证明: BC1
平面A1CD;
(2) 设AA1 = AC = CB = 2, AB = 2
√
2, 求三棱锥C −A1DE 的体积.
A
B
C
A1
B1
C1
D
E
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3. 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1 t 该产品获利润500
元, 未售出的产品, 每1 t 亏损300 元. 根据历史资料, 得到销售季度内市
场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了
130 t 该农产品. 以X (单位: t, 100 ⩽X ⩽150) 表示下一个销售季度内的
市场需求量, T (单位: 元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
频率
组距
0
市场需求量
100 110 120 130 140 150
0.010
0.020
0.030
0.025
0.015
(1) 将T 表示为X 的函数;
(2) 根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率.
-
4. 在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆P 在x 轴上截得线段长为2
√
2, 在y
轴上截得线段长为2
√
3.
(1) 求圆心P 的轨迹方程;
(2) 若P 点到直线y = x 的距离为
√
2
2 , 求圆P 的方程.
-
5. 已知函数f (x) = x2e−x.
(1) 求f (x) 的极小值和极大值;
(2) 当曲线y = f (x) 的切线l 的斜率为负数时, 求l 在x 轴上截距的取值
范围.
-
6. 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线CD 于点D, E,
点共圆.
(1) 证明: CA 是△ABC 外接圆的直径;
(2) 若DB = BE = EA, 求过B, E, F, C 四点的圆的面积与△ABC 外
接圆面积的比值.
A
B
E
F
D
C
-
7. 已知动点P, Q 都在曲线C :
{
x = 2 cos t,
y = 2 sin t,
(t 为参数) 上, 对应参数分别为
t = α 与t = 2α (0 < α < 2π), M 为PQ 的中点.
(1) 求M 的轨迹的参数方程;
(2) 将M 到坐标原点的距离d 表示为α 的函数, 并判断M 的轨迹是否过
坐标原点.
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8. 设a, b, c 均为正数, 且a + b + c = 1, 证明:
(1) ab + bc + ca ⩽1
3;
(2) a2
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