2013年新课标卷2（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年新课标卷2（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 已知集合M = {x | (x −1)2 < 4, x ∈R}, N = {−1, 0, 1, 2, 3}, 则 M ∩N = ( ) 5分
   A. {0, 1, 2} B. {−1, 0, 1, 2} (C) {−1, 0, 2, 3} (D) {0, 1, 2, 3}
2. 2. 设复数z 满足(1 −i) z = 2i, 则z = ( ) 5分
   A. −1 + i B. −1 −i C. 1 + i D. 1 −i
3. 3. 等比数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知S3 = a2+10a1, a5 = 9, 则a1 =( ) 3 3 9 9 5分
   A. 1 B. −1 C. 1 D. −1
4. 4. 已知m, n 为异面直线, m ⊥平面α, n ⊥平面β. 直线l 满足l ⊥m, l ⊥n, l̸ ⊂α, l̸ ⊂β, 则 ( ) β 且l α 5分
   A. α B. α ⊥β 且l ⊥β C. α 与β 相交, 且交线垂直于l D. α 与β 相交, 且交线平行于l
5. 5. 已知(1 + ax) (1 + x)5 的展开式中x2 的系数为5, 则a = ( ) 5分
   A. −4 B. −3 C. −2 D. −1
6. 6. 执行如图的程序框图, 如果输入的N = 10, 那么输出的S = ( ) 开始 输入N k = 1, S = 0, T = 1 T = T k S = S + T k = k + 1 k > N 输出S 结束 是 否 2 + 1 3 + · · · + 1 10 2! + 1 3! + · · · + 1 10! 2 + 1 3 + · · · + 1 11 2! + 1 3! + · · · + 1 11! 5分
   A. 1 + 1 B. 1 + 1 C. 1 + 1 D. 1 + 1
7. 7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O −xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zOx 平面 为投影面, 则得到正视图可以为 ( ) (A) (B) (C) (D) 5分
8. 8. 设a = log36, b = log510, c = log714, 则 ( ) 5分
   A. c > b > a B. b > c > a C. a > c > b D. a > b > c
9. 9. 已知a > 0, x, y 满足约束条件        x ⩾1, x + y ⩽3, y ⩾a (x −3) , 若z = 2x + y 的最小值 为1, 则a = ( ) 4 2 5分
   A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
10. 10. 已知函数f (x) = x3 + ax2 + bx + c, 下列结论中错误的是 ( ) 5分
    A. ∃x0 ∈R, f (x0) = 0 B. 函数y = f (x) 的图象是中心对称图形 C. 若x0 是f (x) 的极小值点, 则f (x) 在区间(−∞, x0) 单调递减 D. 若x0 是f (x) 的极值点, 则f ′ (x0) = 0
11. 11. 设抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 点M 在C 上, |MF| = 5. 若 以MF 为直径的圆过点(0, 2), 则C 的方程为 ( ) 5分
    A. y2 = 4x 或y2 = 8x B. y2 = 2x 或y2 = 8x C. y2 = 4x 或y2 = 16x D. y2 = 2x 或y2 = 16x
12. 12. 已知点A (−1, 0), B (1, 0), C (0, 1), 直线y = ax + b (a > 0) 将△ABC 分 割为面积相等的两部分, 则b 的取值范围是 ( ) (B) ( 1 − √ 2 2 , 1 2 ) (C) ( 1 − √ 2 2 , 1 3 ] (D) [1 3, 1 2 ) 5分
    A. (0, 1)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知正方形ABCD 的边长为2, E 为CD 的中点, 则# » AE · # » BD = . 5分
2. 2. 从n 个正整数1, 2, · · · , n 中任意取出两个不同的数, 若取出的两数之和等 于5 的概率为1 14, 则n = . 5分
3. 3. 设θ 为第二象限角, 若tan ( θ + π 4 ) = 1 2, 则sin θ + cos θ = . 5分
4. 4. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知S10 = 0, S15 = 25, 则nSn 的最小 值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. △ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知a = b cos C + c sin B. (1) 求B; (2) 若b = 2, 求△ABC 面积的最大值.
2. 2. 如图, 直三棱柱ABC −A1B1C1 中, D, E 分别是AB, BB1 的中点, AA1 = AC = CB = √ 2 2 AB. (1) 证明: BC1 平面A1CD; (2) 求二面角D −A1C −E 的正弦值. A B C A1 B1 C1 D E 829
3. 3. 经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内, 每售出1 t 该产品获利润500 元, 未售出的产品, 每1 t 亏损300 元. 根据历史资料, 得到销售季度内市 场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以X (单位: t, 100 ⩽X ⩽150) 表示下一个销售季度内的 市场需求量, T (单位: 元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. 频率 组距 0 市场需求量 100 110 120 130 140 150 0.010 0.020 0.030 0.025 0.015 (1) 将T 表示为X 的函数; (2) 根据直方图估计利润T 不少于57000 元的概率; (3) 在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需 求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若需求 量X ∈[100, 110), 则取X = 105, 且X = 105 的概率等于需求量落入 [100, 110) 的频率), 求T 的数学期望.
4. 4. 平面直角坐标系xOy 中, 过椭圆M: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 右焦点的直 线x + y − √ 3 = 0 交M 于A, B 两点, P 为AB 的中点, 且OP 的斜率 为1 2. (1) 求M 的方程; (2) C, D 为M 上两点, 若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB, 求四边形 ACBD 面积的最大值.
5. 5. 已知函数f (x) = ex −ln (x + m). (1) 设x = 0 是f (x) 的极值点, 求m, 并讨论f (x) 的单调性; (2) 当m ⩽2 时, 证明f (x) > 0.
6. 6. 如图, CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线CD 于点D, E, 点共圆. (1) 证明: CA 是△ABC 外接圆的直径; (2) 若DB = BE = EA, 求过B, E, F, C 四点的圆的面积与△ABC 外 接圆面积的比值. A B E F D C
7. 7. 已知动点P, Q 都在曲线C : { x = 2 cos t, y = 2 sin t, (t 为参数) 上, 对应参数分别为 t = α 与t = 2α (0 < α < 2π), M 为PQ 的中点. (1) 求M 的轨迹的参数方程; (2) 将M 到坐标原点的距离d 表示为α 的函数, 并判断M 的轨迹是否过 坐标原点.
8. 8. 设a, b, c 均为正数, 且a + b + c = 1, 证明: (1) ab + bc + ca ⩽1 3; (2) a2 830

原卷配图（含真实几何/应用题图示）