2013年江苏

本卷为官方高考数学真题（2013年江苏），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数y = 3 sin ( 2x + π 4 ) 的最小正周期为 . 5分
2. 2. 设z = (2 −i)2 (i 为虚数单位), 则复数z 的模为 . 5分
3. 3. 双曲线x2 16 −y2 9 = 1 的两条渐近线的方程为 . 5分
4. 4. 集合{−1, 0, 1} 共有 个子集. 5分
5. 5. 如图是一个算法的流程图, 则输出的n 的值是 . 开始 n ←1 n ←n + 1 输出n 结束 Y N 5分
   A. ←2 A. < 20? A. ←3a + 2
6. 6. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5 次训练成绩(单位: 环), 结果如下: 运动员 第1 次 第2 次 第3 次 第4 次 第5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小) 的那位运动员成绩的方差为 . 5分
7. 7. 现有某类病毒记作XmYn, 其中正整数m, n (m ⩽7, n ⩽9) 可以任意选 取, 则m, n 都取到奇数的概率为 . 5分
8. 8. 如图, 在三棱柱A1B1C1 −ABC 中, D, E, F 分别是AB, AC, AA1 的中 点. 设三棱锥F −ADE 的体积为V1, 三棱柱A1B1C1 −ABC 的体积为 V2, 则V1 : V2 = . A A1 F D B1 C1 B C E 5分
9. 9. 抛物线y = x2 在x = 1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包 含三角形内部与边界). 若点P (x, y) 是区域D 内的任意一点, 则x + 2y 的取值范围是 . 5分
10. 10. 设D, E 分别是△ABC 的边AB, BC 上的点, AD = 1 2AB, BE = 2 3BC. 若# » DE = λ1 # » AB + λ2 # » AC (λ1, λ2 为实数), 则λ1 + λ2 的值为 . 5分
11. 11. 已知f (x) 是定义在R 上的奇函数. 当x > 0 时, f (x) = x2 −4x, 则不等 式f (x) > x 的解集用区间表示为 . 5分
12. 12. 在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆C 的标准方程为x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0), 右焦点为F, 右准线为l, 短轴的一个端点为B, 设原点到直线BF 的距离 为d1, F 到l 的距离为d2, 若d2 = √ 6d1, 则椭圆C 的离心率为 . 5分
13. 13. 在平面直角坐标系xOy 中, 设定点A (a, a), P 是函数y = 1 x (x > 0) 图象 上一动点, 若点P, A 之间的最短距离为2 √ 2, 则满足条件的实数a 的所 有值为 . 5分
14. 14. 在正项等比数列{an} 中, a5 = 1 2, a6 + a7 = 3, 则满足a1 + a2 + · · · + an > a1a2 · · · an 的最大正整数n 的值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 9 题）

1. 1. 已知a = (cos α, sin α), b = (cos β, sin β), 0 < β < α < π. (1) 若|a −b| = √ 2, 求证: a ⊥b; (2) 设c = (0, 1), 若a + b = c, 求α, β 的值.
2. 2. 如图, 在三棱锥S −ABC 中, 平面SAB ⊥平面SBC, AB ⊥BC, AS = AB. 过A 作AF ⊥SB, 垂足为F, 点E, G 分别是棱SA, SC 的中点. 求证: (1) 平面EFG 平面ABC; (2) BC ⊥SA. A G E S B C F
3. 3. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 点A (0, 3), 直线l: y = 2x −4. 设圆C 的半径为1, 圆心在l 上. (1) 若圆心C 也在直线y = x −1 上, 过点A 作圆C 的切线, 求切线的方 程; (2) 若圆C 上存在点M, 使MA = 2MO, 求圆心C 的横坐标a 的取值范 围. x y O A l •
4. 4. 如图, 游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径. 一种是从A 沿直线步行到C, 另一种是先从A 沿索道乘缆车到B, 然后从B 沿直线 步行到C. 现有甲、乙两位游客从A 处下山, 甲沿AC 匀速步行, 速度为 50 m/min. 在甲出发2 min 后, 乙从A 乘缆车到B, 在B 处停留1 min 后, 再从B 匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min, 山路AC 长为1260 m, 经测量, cos A = 12 13, cos C = 3 5. (1) 求索道AB 的长; (2) 问乙出发多少分钟后, 乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟, 乙步行的速度应 控制在什么范围内? C B A 815
5. 5. 设{an} 是首项为a, 公差为d 的等差数列(d̸ = 0), Sn 是其前n 项的和. 记bn = nSn n2 + c, n ∈N∗, 其中c 为实数. (1) 若c = 0, 且b1, b2, b4 成等比数列, 证明: Snk = n2Sk (k, n ∈N∗); (2) 若{bn} 是等差数列, 证明: c = 0.
6. 6. 设函数f (x) = ln x −ax, g (x) = ex −ax, 其中a 为实数. (1) 若f (x) 在(1, +∞) 上是单调减函数, 且g (x) 在(1, +∞) 上有最小值, 求a 的取值范围; (2) 若g (x) 在(−1, +∞) 上是单调增函数, 试求f (x) 的零点个数, 并证明 你的结论.
7. 7. 四选二. 【A】如图, AB 和BC 分别与圆O 相切于点D, C, AC 经过圆心O, 且 BC = 2OC. 求证: AC = 2AD. A B O C D • 【B】已知矩阵A = [ −1 0 0 2 ] , B = [ 1 2 0 6 ] , 求矩阵A−1B. 【C】在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为 { x = t + 1, y = 2t, (t 为参 数), 曲线C 的参数方程为 { x = 2 tan2 θ, y = 2 tan θ, (θ 为参数). 试求直线l 和曲线 【D】已知a ⩾b > 0, 求证: 2a3 −b3 ⩾2ab2 −a2b.
8. 8. 如图, 在直三棱柱A1B1C1−ABC 中, AB ⊥AC, AB = AC = 2, A1A = 4, 点D 是BC 的中点. (1) 求异面直线A1B 与C1D 所成角的余弦值; (2) 求平面ADC1 与平面ABA1 所成二面角的正弦值. A B C D A1 B1 C1
9. 9. 设数列 {an}: 1, −2, −2, 3, 3, 3, −4, −4, −4, −4, · · · , k 个 z }| { (−1)k−1k, · · · , (−1)k−1k, · · · , 即当(k −1) k 2 < n ⩽k (k + 1) 2 (k ∈N∗) 时, an = (−1)k−1k. 记Sn = a1 + a2 + · · · + an (n ∈N∗). 对于l ∈N∗, 定 义集合Pl = {n | Sn 是an 的整数倍, n ∈N∗, 且1 ⩽n ⩽l}. (1) 求集合P11 中元素的个数; (2) 求集合P2000 中元素的个数. 816

原卷配图（含真实几何/应用题图示）