2013年江西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年江西（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 复数z = i (−2 −i) (i 为虚数单位) 在复平面内所对应的点在 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 若集合A = {x ∈R | ax2 + ax + 1 = 0} 中只有一个元素, 则a = ( ) 5分
   A. 4 B. 2 C. 0 D. 0 或4
3. 3. 若sin α 2 = √ 3 3 , 则cos α = ( ) 3 3 3 3 5分
   A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
4. 4. 集合A = {2, 3}, B = {1, 2, 3}, 从A, B 中各任意取一个数, 则这两数之 和等于4 的概率是 ( ) 3 2 3 6 5分
   A. 2 B. 1 C. 1 D. 1
5. 5. 总体由编号为01, 02, · · · , 19, 20 的20 个个体组成. 利用下面的随机数表 选取5 个个体, 选取方法从随机数表第1 行的第5 列和第6 列数字开始由 左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5 个个体的编号为 ( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 5分
   A. 08 B. 07 C. 02 D. 01
6. 6. 下列选项中, 使不等式x < 1 x < x2 成立的x 的取值范围是 ( ) 5分
   A. (−∞, −1) B. (−1, 0) C. (0, 1) D. (1, +∞)
7. 7. 阅读如图所示程序框图, 如果输出i = 4, 那么在空白的判断框中应填入的 条件是 ( ) 开始 i = 1, S = 0 i = i + 1 i 是奇数 S = 2 ∗i + 2 S = 2 ∗i + 1 输出i 结束 是 否 否 是 5分
   A. S < 8 B. S < 9 C. S < 10 D. S < 11
8. 8. 一几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) 6 2 2 1 1 5 3 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
   A. 200 + 9π B. 200 + 18π C. 140 + 9π D. 140 + 18π
9. 9. 已知点A (2, 0), 抛物线C: x2 = 4y 的焦点为F, 射线FA 与抛物线C 相 交于点M, 与其准线相交于点N, 则|FM| : |MN| = ( ) √ 5 √ 5 5分
   A. 2 : B. 1 : 2 C. 1 : D. 1 : 3
10. 10. 如图, 已知l1 ⊥l2, 圆心在l1 上, 半径为1 m 的圆O 在t = 0 时与l2 相 切于点A, 圆O 沿l1 以1 m/s 的速度匀速向上移动, 圆被直线l2 所截上 方圆弧长记为x, 令y = cos x, 则y 与时间t (0 ⩽t ⩽1, 单位: s) 的函数 y = f (t) 的图象大致为 ( ) A O l2 l1 • (A) t 1 1 y O (B) t 1 −1 1 y O (C) t 1 −1 1 y O (D) t 1 −1 1 y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 若曲线y = xα + 1 (α ∈R) 在点(1, 2) 处的切线经过坐标原点, 则 α = . 5分
2. 2. 某住宅小区计划植树不少于100 棵, 若第一天植2 棵, 以后每天植树的棵 数是前一天的2 倍, 则需要的最少天数n (n ∈N∗) 等于 . 5分
3. 3. 设f (x) = √ 3 sin 3x + cos 3x, 若对任意实数x 都有|f (x)| ⩽a, 则实数a 的取值范围是 . 5分
4. 4. 若圆C 经过坐标原点和点(4, 0), 且与直线y = 1 相切, 则圆C 的方程 是 . 5分
5. 5. 如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上, 且AB CD, 则 直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 . A B α F C D E 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 正项数列{an} 满足: a2 n −(2n −1) an −2n = 0. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 令bn = 1 (n + 1) an , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
2. 2. 在△ABC 中, 角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知sin A sin B + sin B sin C + cos 2B = 1. (1) 求证: a, b, c 成等差数列; (2) 若C = 2π 3 , 求a 819
3. 3. 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋, 游戏规则为: 以O 为起 点, 再从A1, A2, A3, A4, A5, A6 (如图) 这6 个点中任取两点分别为终点得 到两个向量, 记这两个向量的数量积为X, 若X > 0 就去打球, 若X = 0 就去唱歌, 若X < 0 就去下棋. (1) 写出数量积X 的所有可能取值; (2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率. x y O 1 A1 1 A4 A6 −1 A3 −1 A2(1, −1) A5(−1, 1) • • • • • • •
4. 4. 如图, 直四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AB CD, AD ⊥AB, AB = 2, AD = √ 2, AA1 = 3, E 为CD 上一点, DE = 1, EC = 3. (1) 证明: BE ⊥平面BB1C1C; (2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离. A A1 E B B1 C C1 D D1
5. 5. 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的离心率e = √ 3 2 , a + b = 3. (1) 求椭圆C 的方程; (2) 如图所示, A, B, D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶点外的任意 一点, 直线DP 交x 轴于点N, 直线AD 交BP 于点M, 设BP 的斜率 为k, MN 的斜率为m, 证明: 2m −k 为定值. x y O D A M B P N
6. 6. 设函数f (x) =      1 ax, 0 ⩽x ⩽a, 1 1 −a (1 −x) , (1) 当a = 1 2 时, 求f ( f (1 3 )) ; (2) 若x0 满足f (f (x0)) = x0, 但f (x0)̸ = x0, 则称x0 为f (x) 的二阶周 期点, 证明: 函数f (x) 有且仅有两个二阶周期点, 并求出二阶周期点x1, x2; (3) 对于(2) 中的x1, x2, 设A (x1, f (f (x1))), B (x2, f (f (x2))), C (a2, 0), 记△ABC 的面积为S (a), 求S (a) 在区间 [1 3, 1 2 ] 上的最大值和最小值. 820

原卷配图（含真实几何/应用题图示）