2013年江西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年江西（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知集合M = {1, 2, zi}, i 为虚数单位, N = {3, 4}, M ∩N = {4}, 则复 数z 等于 ( ) 5分
   A. −2i B. 2i C. −4i D. 4i
2. 2. 函数y = √x ln (1 −x) 的定义域为 ( ) 5分
   A. (0, 1) B. [0, 1) C. (0, 1] D. [0, 1]
3. 3. 等比数列x, 3x + 3, 6x + 6, · · · 的第四项等于 ( ) 5分
   A. −24 B. 0 C. 12 D. 24
4. 4. 总体由编号为01, 02, · · · , 19, 20 的20 个个体组成. 利用下面的随机数表 选取5 个个体, 选取方法从随机数表第1 行的第5 列和第6 列数字开始由 左到右依次选取两个数字, 则选出来的第5 个个体的编号为 ( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 5分
   A. 08 B. 07 C. 02 D. 01
5. 5. ( x2 −2 x3 )5 展开式中的常数项为 ( ) 5分
   A. 80 B. −80 C. 40 D. −40
6. 6. 若S1 = ∫2 1 x2dx, S2 = ∫2 1 1 xdx, S3 = ∫2 1 exdx, 则S1, S2, S3 的大小关系 为 ( ) 5分
   A. S1 < S2 < S3 (B) S2 < S1 < S3 (C) S2 < S3 < S1 (D) S3 < S2 < S1
7. 7. 阅读如图所示程序框图, 如果输出i = 5, 那么在空白矩形框中应填入的语 句为 ( ) 开始 i = 1, S = 0 i = i + 1 i 是奇数 S = 2 ∗i + 1 S < 10 输出i 结束 是 否 否 是 5分
   A. S = 2 ∗i −2 (B) S = 2 ∗i −1 (C) S = 2 ∗i D. S = 2 ∗i + 4
8. 8. 如图, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α 上, 且AB CD, 正 方体的六个面所在的平面与直线CE, EF 相交的平面个数分别记为m, n, 那么m + n = ( ) A B α F C D E 5分
   A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
9. 9. 过点 (√ 2, 0 ) 引直线l 与曲线y = √ 1 −x2 相交于A, B 两点, O 为坐标 原点, 当△AOB 的面积取最大值时, 直线l 的斜率等于 ( ) (A) √ 3 3 √ 3 3 √ 3 3 √ 3 5分
   B. − C. ± D. −
10. 10. 如图, 半径为1 的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l1, l2 之间, l l1, l 与半圆相交于F, G 两点, 与三角形ABC 两边相交于E, D 两点. 设弧˜ FG 的长为x (0 < x < π), y = EB + BC + CD, 若l 从l1 平行移动 到l2, 则函数y = f (x) 的图象大致是 ( ) A B O l2 l l1 F G C D E (A) x π 2 √ 3 3 2 √ 3 y O (B) x π 2 √ 3 3 2 √ 3 y O (C) x π 2 √ 3 3 2 √ 3 y O (D) x π 2 √ 3 3 2 √ 3 y O 5分

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 函数y = sin 2x + 2 √ 3sin2x 的最小正周期T 为 . 5分
2. 2. e1, e2 为单位向量, 且e1, e2 的夹角为π 3 , 若a = e1 + 3e2, b = 2e1, 则向 量a 在b 方向上的射影为 . 5分
3. 3. 设函数f (x) 在(0, +∞) 内可导, 且f (ex) = x + ex, 则f ′ (1) = . 5分
4. 4. 抛物线x2 = 2py (p > 0) 的焦点为F, 其准线与双曲线x2 3 −y2 3 = 1 相交 于A, B 两点, 若△ABF 为等边三角形, 则p = . 5分
5. 5. 设曲线C 的参数方程为 { x = t, y = t2, (t 为参数), 若以直角坐标系的原点为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则曲线C 的极坐标方程为 . 5分
6. 6. 在实数范围内, 不等式||x −2| −1| ⩽1 的解集为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知cos C + ( cos A − √ 3 sin A ) cos B = 0. (1) 求角B 的大小; (2) 若a + c = 1, 求b 的取值范围.
2. 2. 正项数列{an} 的前n 项和Sn 满足: S2 n −(n2 + n −1) Sn −(n2 + n) = 0. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 令bn = n + 1 (n + 2)2a2 n , 数列{bn} 的前n 项和为Tn. 证明: 对于任意 n ∈N∗, 都有Tn < 5 64. 817
3. 3. 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队, 游戏规则为: 以O 为起点, 再从A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 (如图) 这8 个点中任 取两点分别为终点得到两个向量, 记这两个向量的数量积为X. 若X = 0 就参加学校合唱团, 否则就参加学校排球队. (1) 求小波参加学校合唱团的概率; (2) 求X 的分布列和数学期望. x y O 1 A1 1 A3 A5 −1 A7 −1 A2(1, 1) A4(−1, 1) A6(−1, −1) A8(1, −1) • • • • • • • • •
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, E 为BD 的中点, G 为 PD 的中点, △DAB ∼= △DCB, EA = EB = AB = 1, PA = 3 2, 连接CE 并延长交AD 于F. (1) 求证: AD ⊥平面CFG; (2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值. A P D B G C E F
5. 5. 如图, 椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 经过点P ( 1, 3 2 ) , 离心率e = 1 2, 直线l 的方程为x = 4. (1) 求椭圆C 的方程; (2) AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P), 设直线AB 与直线l 相 交于点M, 记PA, PB, PM 的斜率分别为k1, k2, k3. 问: 是否存在常数 λ, 使得k1 + k2 = λk3? 若存在, 求λ 的值; 若不存在, 请说明理由. x y O F A M B P l
6. 6. 已知函数f (x) = a ( 1 −2 x −1 2  ) , a 为常数且a > 0. (1) 证明: 函数f (x) 的图象关于直线x = 1 2 对称; (2) 若x0 满足f (f (x0)) = x0, 但f (x0)̸ = x0, 则称x0 为函数f (x) 的二 阶周期点, 如果f (x) 有两个二阶周期点x1, x2, 试确定a 的取值范围; (3) 对于(2) 中的x1, x2 和a, 设x3 为函数f (f (x)) 的最大值点, 讨论S (a) 的单调性. 818

原卷配图（含真实几何/应用题图示）