2013年浙江（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年浙江（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设集合S = {x | x > −2}, T = {x | −4 ⩽x ⩽1}, 则S ∩T = ( ) 5分
   A. [−4, +∞) B. (−2, +∞) C. [−4, 1] D. (−2, 1]
2. 2. 已知i 是虚数单位, 则(2 + i) (3 + i) = ( ) 5分
   A. 5 −5i B. 7 −5i C. 5 + 5i D. 7 + 5i
3. 3. 若α ∈R, 则“α = 0”是“sin α < cos α”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 设m, n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面 ( ) α, n α, 则m n α, m β, 则α β n, m ⊥α, 则n ⊥α α, α ⊥β, 则m ⊥β 5分
   A. 若m B. 若m C. 若m D. 若m
5. 5. 已知某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则该几何体的体积是 ( ) 俯视图 正视图 侧视图 4 2 3 3 4 2 5分
   A. 108 cm3 B. 100 cm3 C. 92 cm3 D. 84 cm3
6. 6. 函数f (x) = sin x cos x + √ 3 2 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是 ( ) 5分
   A. π, 1 B. π, 2 C. 2π, 1 D. 2π, 2
7. 7. 已知a, b, c ∈R, 函数f (x) = ax2 +bx+c, 若f (0) = f (4) > f (1), 则( ) 5分
   A. a > 0, 4a + b = 0 B. a < 0, 4a + b = 0 C. a > 0, 2a + b = 0 D. a < 0, 2a + b = 0
8. 8. 已知函数y = f (x) 的图象是下列四个图象之一, 且其导函数y = f ′ (x) 的 图象如图所示, 则该函数的图象是 ( ) x y O −1 1 (A) x y O −1 1 (B) x y O −1 1 (C) x y O −1 1 (D) x y O −1 1 5分
9. 9. 如图, F1, F2 是椭圆C1: x2 4 + y2 = 1 与双曲线C2 的公共焦点, A, B 分别 是C1, C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AF1BF2 为矩形, 则C2 的 离心率是 ( ) x y O B F1 F2 A (A) √ 2 (B) √ 3 2 (D) √ 6 2 5分
   C. 3
10. 10. 设a, b ∈R, 定义运算“∧”和“∨”如下: { a, b, { b, a, 若正数a, b, c, d 满足ab ⩾4, c + d ⩽4, 则 ( ) (C) a ∨b ⩾2, c ∧d ⩽2 (D) a ∨b ⩾2, c ∨d ⩾2 5分
    A. ∧b = A. ⩽b, A. > b, A. ∨b = A. ⩽b, A. > b. A. a ∧b ⩾2, c ∧d ⩽2 B. a ∧b ⩾2, c ∨d ⩾2

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 已知函数f (x) = √x −1. 若f (a) = 3, 则实数a = . 5分
2. 2. 从3 男3 女共6 名同学中任选2 名(每名同学被选中的机会均等), 这2 名都是女同学的概率等于 . 5分
3. 3. 直线y = 2x + 3 被圆x2 + y2 −6x −8y = 0 所截得的弦长等于 . 5分
4. 4. 若某程序框图如图所示, 则该程序运行后输出的值等于 . 开始 S = 1, k = 1 k > 4? S = S + 1 k(k + 1) k = k + 1 输出S 结束 否 是 5分
5. 5. 设z = kx + y, 其中实数x, y 满足        x ⩾2, x −2y + 4 ⩾0, 2x −y −4 ⩽0. 若z 的最大值为12, 则实数k = . 5分
6. 6. 设a, b ∈R, 若x ⩾0 时恒有0 ⩽x4 −x3 + ax + b ⩽(x2 −1) 2, 则 ab = . 5分
7. 7. 设e1, e2 为单位向量, 非零向量b = xe1 + ye2, x, y ∈R. 若e1, e2 的夹 角为π 6 , 则|x| |b| 的最大值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在锐角△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且2a sin B = √ 3b. (1) 求角A 的大小; (2) 若a = 6, b + c = 8, 求△ABC 的面积. 855
2. 2. 在公差为d 的等差数列{an} 中, 已知a1 = 10, 且a1, 2a2 + 2, 5a3 成等比 数列. (1) 求d, an; (2) 若d < 0, 求|a1| + |a2| + |a3| + · · · + |an|.
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥平面ABCD, AB = BC = 2, AD = CD = √ 7, PA = √ 3, ∠ABC = 120◦, G 为线段PC 上的点. (1) 证明: BD ⊥平面APC; (2) 若G 为PC 的中点, 求DG 与平面APC 所成的角的正切值; (3) 若G 满足PC ⊥平面BGD, 求PG GC 的值. A P B C D G
4. 4. 已知a ∈R, 函数f (x) = 2x3 −3 (a + 1) x2 + 6ax. (1) 若a = 1, 求曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线方程; (2) 若|a| > 1, 求f (x) 在闭区间[0, 2 |a|] 上的最小值.
5. 5. 已知抛物线C 的顶点为O (0, 0), 焦点为F (0, 1). (1) 求抛物线C 的方程; (2) 过点F 作直线交抛物线C 于A, B 两点. 若直线AO, BO 分别交直 线l: y = x −2 于M, N 两点, 求|MN| 的最小值. x y O N l B A M F 856

原卷配图（含真实几何/应用题图示）