2013年浙江（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年浙江（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知i 是虚数单位, 则(−1 + i) (2 −i) = ( ) 5分
   A. −3 + i B. −1 + 3i C. −3 + 3i D. −1 + i
2. 2. 设集合S = {x | x > −2}, T = {x | x2 + 3x −4 ⩽0}, 则 ( ∁RS ) ∪T =( ) 5分
   A. (−2, 1] B. (−∞, −4] C. (−∞, 1] D. [1, +∞)
3. 3. 已知x, y 为正实数, 则 ( ) 5分
   A. 2lg x+lg y = 2lg x + 2lg y B. 2lg(x+y) = 2lg x · 2lg y C. 2lg x·lg y = 2lg x + 2lg y D. 2lg(xy) = 2lg x · 2lg y
4. 4. 已知函数f (x) = A cos (ωx + φ) (A > 0, ω > 0, φ ∈R), 则“f (x) 是奇函 数”是“φ = π 2 ”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 5. 某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是9 5, 则 ( ) 开始 S = 1, k = 1 k > a? S = S + 1 k(k + 1) k = k + 1 输出S 结束 否 是 5分
   A. a = 4 B. a = 5 C. a = 6 D. a = 7
6. 6. 已知α ∈R, sin α + 2 cos α = √ 10 2 , 则tan 2α = ( ) 3 4 4 3 5分
   A. 4 B. 3 C. −3 D. −4
7. 7. 设△ABC, P0 是边AB 上一定点, 满足P0B = 1 4AB, 且对于边AB 上任 一点P, 恒有# » PB · # » PC ⩾# » P0B · # » P0C. 则 ( ) 5分
   A. ∠ABC = 90◦(B) ∠BAC = 90◦(C) AB = AC D. AC = BC
8. 8. 已知e 为自然对数的底数, 设函数f (x) = (ex −1) (x −1)k (k = 1, 2), 则 ( ) 5分
   A. 当k = 1 时, f (x) 在x = 1 处取得极小值 B. 当k = 1 时, f (x) 在x = 1 处取得极大值 C. 当k = 2 时, f (x) 在x = 1 处取得极小值 D. 当k = 2 时, f (x) 在x = 1 处取得极大值
9. 9. 如图, F1, F2 是椭圆C1: x2 4 + y2 = 1 与双曲线C2 的公共焦点, A, B 分别 是C1, C2 在第二、四象限的公共点. 若四边形AF1BF2 为矩形, 则C2 的 离心率是 ( ) x y O B F1 F2 A (A) √ 2 (B) √ 3 2 (D) √ 6 2 5分
   C. 3
10. 10. 在空间中, 过点A 作平面π 的垂线, 垂足为B, 记B = fπ (A). 设α, β 是 两个不同的平面, 对空间任意一点P, Q1 = fβ (fα (P)), Q2 = fα (fβ (P)), 恒有PQ1 = PQ2, 则 ( ) 5分
    A. 平面α 与平面β 垂直 B. 平面α 与平面β 所成的(锐) 二面角为45◦ C. 平面α 与平面β 平行 D. 平面α 与平面β 所成的(锐) 二面角为60◦

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 设二项式 (√x − 1 3√x )5 的展开式中常数项为A, 则A = . 5分
2. 2. 若某几何体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此几何体的体积等 于 cm3. 俯视图 正视图 侧视图 4 3 3 3 2 5分
3. 3. 设z = kx + y, 其中实数x, y 满足        x + y −2 ⩾0, x −2y + 4 ⩾0, 2x −y −4 ⩽0, 若z 的最大值为12, 则实数k = . 5分
4. 4. 将A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排, 且A, B 均在C 的同侧, 则不同 的排法共有 种. (用数字作答) 5分
5. 5. 设F 为抛物线C: y2 = 4x 的焦点, 过点P (−1, 0) 的直线l 交抛物线C 于A, B 两点, 点Q 为线段AB 的中点. 若|FQ| = 2, 则直线l 的斜率等 于 . 5分
6. 6. △ABC 中, ∠C = 90◦, M 是BC 的中点. 若sin ∠BAM = 1 3, 则 sin ∠BAC = . 5分
7. 7. 设e1, e2 为单位向量, 非零向量b = xe1 + ye2, x, y ∈R. 若e1, e2 的夹 角为π 6 , 则|x| |b| 的最大值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在公差为d 的等差数列{an} 中, 已知a1 = 10, 且a1, 2a2 + 2, 5a3 成等比 数列. (1) 求d, an; (2) 若d < 0, 求|a1| + |a2| + |a3| + · · · + |an|.
2. 2. 设袋子中装有a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球, 且规定: 取出一个红球得1 分, 取出一个黄球2 分, 取出一个蓝球得3 分. (1) 当a = 3, b = 2, c = 1 时, 从该袋子中任取(有放回, 且每球取到的机会 均等) 2 个球, 记随机变量ξ 为取出此2 个球所得分数之和, 求ξ 分布列; (2) 从该袋子中任取(且每球取到的机会均等) 1 个球, 记随机变量η 为取 出此球所得分数. 若Eη = 5 3, Dη = 5 9, 求a : b : c. 853
3. 3. 如图, 在四面体A −BCD 中, AD ⊥平面BCD, BC ⊥CD, AD = 2, BD = 2 √ 2. M 是AD 的中点, P 是BM 的中点, 点Q 在线段AC 上, 且 AQ = 3QC. (1) 证明: PQ 平面BCD; (2) 若二面角C −BM −D 的大小为60◦, 求∠BDC 的大小. A B C D P M Q
4. 4. 如图, 点P (0, −1) 是椭圆C1: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的一个顶点, C1 的 长轴是圆C2: x2 + y2 = 4 的直径. l1, l2 是过点P 且互相垂直的两条直线, 其中l1 交圆C2 于A, B 两点, l2 交椭圆C1 于另一点D. (1) 求椭圆C1 的方程; (2) 求△ABD 面积取最大值时直线l1 的方程. x y O l2 A B l1 D P
5. 5. 已知a ∈R, 函数f (x) = x3 −3x2 + 3ax −3a + 3. (1) 求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程; (2) 当x ∈[0, 2] 时, 求|f (x)| 的最大值. 854

原卷配图（含真实几何/应用题图示）