2013年湖北（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年湖北（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}, 集合A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, 则 ( ) 5分
   B. ∩∁UA = A. {2} B. {3, 4} C. {1, 4, 5} D. {2, 3, 4, 5}
2. 2. 已知0 < θ < π 4 , 则双曲线C1: x2 sin2θ − y2 cos2θ = 1 与C2: y2 cos2θ −x2 sin2θ = 1 的 ( ) 5分
   A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3. 3. 在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次. 设命题p 是“甲降落在指定 范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定 范围”可表示为 ( ) 5分
   A. (¬p) ∨(¬q) B. p ∨(¬q) C. (¬p) ∧(¬q) D. p ∨q
4. 4. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y 之间的相关关系, 并求得回归 直线方程, 分别得到以下四个结论: ①y 与x 负相关且by = 2.347x −6.423; ②y 与x 负相关且by = −3.476x + 5.648; ③y 与x 正相关且by = 5.437x + 8.493; ④y 与x 正相关且by = −4.326x −4.578. 其中一定不正确的结论的序号是 ( ) 5分
   A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
5. 5. 小明骑车上学, 开始时匀速行驶, 途中因交通堵塞停留了一段时间后, 为了 赶时间加快速度行驶, 与以上事件吻合得最好的图象是 ( ) (A) 时间 距学校的距离 O (B) 时间 距学校的距离 O (C) 时间 距学校的距离 O (D) 时间 距学校的距离 O 5分
6. 6. 将函数y = √ 3 cos x + sin x (x ∈R) 的图象向左平移m (m > 0) 个单位 长度后, 所得到的图象关于y 轴对称, 则m 的最小值是 ( ) 12 6 3 6 5分
   A. π B. π C. π D. 5π
7. 7. 已知点A (−1, 1), B (1, 2), C (−2, −1), D (3, 4), 则向量# » AB 在# » CD 方向上 的投影为 ( ) √ 2 2 √ 15 2 √ 2 2 √ 15 2 5分
   A. 3 B. 3 C. −3 D. −3
8. 8. x 为实数, [x] 表示不超过x 的最大整数, 则函数f (x) = x −[x] 在R 上 为 ( ) 5分
   A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 周期函数
9. 9. 某旅行社租用A, B 两种型号的客车安排900 名客人旅行, A, B 两种车辆 的载客量分别为36 人和60 人, 租金分别为1600 元/辆和2400 元/辆, 旅 行社要求租车总数不超过21 辆, 且B 型车不多于A 型车7 辆, 则租金最 少为 ( ) 5分
   A. 31200 元 B. 36000 元 C. 36800 元 D. 38400 元
10. 10. 已知函数f (x) = x (ln x −ax) 有两个极值点, 则实数a 的取值范围是( ) (B) ( 0, 1 2 ) 5分
    A. (−∞, 0) C. (0, 1) D. (0, +∞)

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. i 为虚数单位, 设复数z1, z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若 z1 = 2 −3i, 则z2 = . 5分
2. 2. 某学员在一次射击测试中射靶10 次, 命中环数如下: 7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4 则: (1) 平均命中环数为 ; (2) 命中环数的标准差为 . 5分
3. 3. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序. 若输入m 的值为2, 则输出 的结果i = . 开始 输入m i = i + 1 输出i 结束 是 否 5分
   A. = 1, B = 1, i = 0 A. = A × m B. = B × i A. < B?
4. 4. 已知圆O: x2 + y2 = 5, 直线l: x cos θ + y sin θ = 1 ( 0 < θ < π 2 ) . 设圆O 上到直线l 的距离等于1 的点的个数为k, 则k = . 5分
5. 5. 在区间[−2, 4] 上随机地取一个数x, 若x 满足|x| ⩽m 的概率为5 6, 则 m = . 5分
6. 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题: 在下雨时, 用一个圆 台形的天池盆接雨水, 天池盆盆口直径为二尺八寸, 盆底直径为一尺二寸, 盆深一尺八寸, 若盆中积水深九寸, 则平地降雨量是 寸. (注: ①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积; ②一尺等于〸寸) 5分
7. 7. 在平面直角坐标系中, 若点P (x, y) 的坐标x, y 均为整数, 则称点P 为格 点, 若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形, 格点多边 形的面积为S, 其内部的格点数记为N, 边界上的格点数记为L. 例如图中 △ABC 是格点三角形, 对应的S = 1, N = 0, L = 4. x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 E A C B G D F • • • • • • • • • • • (1) 图中格点四边形DEFG 对应的S, N, L 分别是 ; (2) 已知格点多边形的面积可表示为S = aN + bL + c, 其中a, b, c 为常数. 若某格点多边形对应的N = 71, L = 18, 则S = . (用数值作答) 5分

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 在△ABC 中, 角A, B, C 对应的边分别是a, b, c, 已知cos 2A − 3 cos (B + C) = 1. (1) 求角A 的大小; (2) 若△ABC 的面积S = 5 √ 3, b = 5, 求sin B sin C 的值. 809
2. 2. 已知Sn 是等比数列{an} 的前n 项和, S4, S2, S3 成等差数列, 且 a2 + a3 + a4 = −18. (1) 求数列{an} 的通项公式; (2) 是否存在正整数n, 使得Sn ⩾2013? 若存在, 求出符合条件的所有n 的集合; 若不存在, 说明理由.
3. 3. 如图, 某地质队自水平地面A, B, C 三处垂直向地下钻探, 自A 点向下 钻到A1 处发现矿藏, 再继续下钻到A2 处后下面已无矿, 从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A1A2 = d1, 同样可得在B, C 处正下方的矿层厚 度分别为B1B2 = d2, C1C2 = d3, 且d1 < d2 < d3, 过AB, AC 的中点 M, N 且与直线AA2 平行的平面截多面体A1B1C1 −A2B2C2 所得的截面 DEFG 为该多面体的一个中截面, 其面积记为S中. (1) 证明: 中截面DEFG 是梯形; (2) 在△ABC 中, 记BC = a, BC 边上的高为h, 面积为S. 在估测三角 形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1 −A2B2C2 的体积 V ) 时, 可用近似公式V估= S中· h 来估算. 已知V = 1 3 (d1 + d2 + d3) S, 试判断V估与V 的大小关系, 并加以证明. A A1 A2 G E D N M B1 C1 B C B2 C2 F
4. 4. 设a > 0, b > 0, 已知函数f (x) = ax + b x + 1 . (1) 当a̸ = b 时, 讨论函数f (x) 的单调性; (2) 当x > 0 时, 称f (x) 为a, b 关于x 的加权平均数. ①判断f (1), f (√ b a ) , f ( b a ) 是否成等比数列, 并证明f ( b a ) ⩽ f (√ b a ) ; ②a、b 的几何平均数记为G, 称2ab 若H ⩽f (x) ⩽G, 求x 的取值范围.
5. 5. 如图, 已知椭圆C1 与C2 的中心在坐标原点O, 长轴均为MN 且在x 轴 上, 短轴长分别为2m, 2n (m > n), 过原点且不与x 轴重合的直线l 与C1, C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B, C, D, 记λ = m n , △BDM 和△ABN 的面积分别为S1 和S2. (1) 当直线l 与y 轴重合时, 若S1 = λS2, 求λ 的值; (2) 当λ 变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线l, 使得S1 = λS2? 并说 明理由. x y O N A B C D M 810

原卷配图（含真实几何/应用题图示）