本卷为官方高考数学真题（2013年湖北（理科）），共 6 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
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1. 在△ABC 中, 角A, B, C 对应的边分别是a, b, c, 已知cos 2A −
3 cos (B + C) = 1.
(1) 求角A 的大小;
(2) 若△ABC 的面积S = 5
√
3, b = 5, 求sin B sin C 的值.
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2. 已知等比数列{an} 满足: |a2 −a3| = 10, a1a2a3 = 125.
(1) 求数列{an} 的通项公式;
(2) 是否存在正整数m, 使得1
a1
+ 1
a2
+ · · · + 1
am
⩾1? 若存在, 求m 的最
小值; 若不存在, 说明理由.
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3. 如图, AB 是圆O 的直径, 点C 是圆O 上异于A, B 的点, 直线PC ⊥平
面ABC, E, F 分别是PA, PC 的中点.
(1) 记平面BEF 与平面ABC 的交线为l, 试判断直线l 与平面PAC 的
位置关系, 并加以证明;
(2) 设(1) 中的直线l 与圆O 的另一个交点为D, 且点Q 满足# »
DQ = 1
2
# »
CP,
记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ, 异面直线PQ 与EF 所成的角为
α, 二面角E −l −C 的大小为β, 求证: sin θ = sin α sin β.
A
E
O
P
B
C
F
•
•
•
-
4. 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N
(
800, 502)
的随
机变量, 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900 的概率为P0.
(1) 求P0 的值;
(参考数据:
若X ∼N (µ, σ2), 有P (µ −σ < X ⩽µ + σ) = 0.6826,
P (µ −2σ < X ⩽µ + 2σ) = 0.9544, P (µ −3σ < X ⩽µ + 3σ) = 0.9974)
(2) 某客运公司用A, B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业
务, 每车每天往返一次, A, B 两种车辆的载客量分别为36 人和60 人, 从
甲地去乙地的营运成本分别为1600 元/辆和2400 元/辆. 公司拟组建一个
不超过21 辆车的客运车队, 并要求B 型车不多于A 型车7 辆. 若每天要
以不小于p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客, 且使公司从甲地去乙地的
营运成本最小, 那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?
-
5. 如图, 已知椭圆C1 与C2 的中心在坐标原点O, 长轴均为MN 且在x 轴
上, 短轴长分别为2m, 2n (m > n), 过原点且不与x 轴重合的直线l 与C1,
C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B, C, D, 记λ = m
n , △BDM
和△ABN 的面积分别为S1 和S2.
(1) 当直线l 与y 轴重合时, 若S1 = λS2, 求λ 的值;
(2) 当λ 变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线l, 使得S1 = λS2? 并说
明理由.
x
y
O
N
A
B
C
D
M
-
6. 设n 为正整数, r 为正有理数.
(1) 求函数f (x) = (1 + x)r+1 −(r + 1) x −1 (x > −1) 的最小值;
(2) 证明: nr+1 −(n −1)r+1
r + 1
< nr < (n + 1)r+1 −nr+1
r + 1
;
(3) 设x ∈R, 记⌈x⌉为不小于x 的最小整数, 例如⌈2⌉= 2, ⌈π⌉= 4,
⌈
−3
2
⌉
= −1. 令S =
3√
81 +
3√
82 +
3√
83 + · · · +
3√
125, 求⌈S⌉的值.
(参考数据: 80
4
3 ≈344.7, 81
4
3 ≈350.5, 124
4
3 ≈618.3, 126
4
3 ≈631.7)
808
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