2013年湖南（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年湖南（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 9 题）

1. 1. 复数z = i · (1 + i) (i 为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. “1 < x < 2”是“x < 2”成立的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品, 数量分别为120 件, 80 件, 60 件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异, 用分层抽样方法抽取了 一个容量为n 的样本进行调查, 其中从丙车间的产品中抽取了3 件, 则 n = ( ) 5分
   A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
4. 4. 已知f (x) 是奇函数, g (x) 是偶函数, 且f (−1)+g (1) = 2, f (1)+g (−1) = 4, 则g (1) 等于 ( ) 5分
   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 5. 在锐角△ABC 中, 角A, B 所对的边长分别为a, b. 若2a sin B = √ 3b, 则 角A 等于 ( ) 3 4 6 12 5分
   A. π B. π C. π D. π
6. 6. 函数f (x) = ln x 的图象与函数g (x) = x2 −4x + 4 的图象的交点个数 为 ( ) 5分
   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 7. 已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1 的正方形, 侧视图是一个 面积为 √ 2 的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于 ( ) (A) √ 3 2 (C) √ 2 + 1 2 (D) √ 2 5分
   B. 1
8. 8. 已知a, b 是单位向量, a · b = 0. 若向量c 满足|c −a −b| = 1, 则|c| 的 最大值为 ( ) (A) √ 2 −1 (B) √ 2 (C) √ 2 + 1 (D) √ 2 + 2 5分
9. 9. 已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P, 使△APB 的最大边 是AB”发生的概率为1 2, 则AD AB = ( ) 2 4 (C) √ 3 2 (D) √ 7 4 5分
   A. 1 B. 1

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 已知集合U = {2, 3, 6, 8}, A = {2, 3}, B = {2, 6, 8}, 则 ( ∁UA ) ∩ . 5分
   B. =
2. 2. 在平面直角坐标系xOy 中, 若直线l1 : { x = 2s + 1, y = s, (s 为参数) 和直线 l2 : { x = at, y = 2t −1, (t 为参数) 平行, 则常数a 的值为 . 5分
3. 3. 执行如图所示的程序框图, 如果输入a = 1, b = 2, 则输出的a 的值 为 . 开始 输入a, b 输出a 结束 否 是 5分
   A. > 8? A. = a + b
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        x + 2y ⩽8, 0 ⩽x ⩽4, 0 ⩽y ⩽3, 则x + y 的最大值为 . 5分
5. 5. 设F1, F2 是双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点. 若在C 上 存在一点P, 使PF1 ⊥PF2, 且∠PF1F2 = 30◦, 则C 的离心率为 . 5分
6. 6. 对于E = {a1, a2, · · · , a100} 的子集X = {ai1, ai2, · · · , aik}, 定义X 的“特征数列”为x1, x2, · · · , x100, 其中xi1 = xi2 = · · · = xik = 1, 其余项 均为0, 例如: 子集{a2, a3} 的“特征数列”为0, 1, 1, 0, 0, · · · , 0. (1) 子集{a1, a3, a5} 的“特征数列”的前3 项和等于 . (2) 若E 的子集P 的“特征数列”p1, p2, · · · , p100 满足p1 = 1, pi+pi+1 = 1, 1 ⩽i ⩽99; E 的子集Q 的“特征数列”q1, q2, · · · , q100 满足q1 = 1, qj + qj+1 + qj+2 = 1, 1 ⩽j ⩽98, 则P ∩Q 的元素个数为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = cos x · cos ( x −π 3 ) . (1) 求f (2π 3 ) 的值; (2) 求使f (x) < 1 4 成立的x 的取值集合.
2. 2. 如图, 在直棱柱ABC −A1B1C1 中, ∠BAC = 90◦, AB = AC = √ 2, AA1 = 3, D 是BC 的中点, 点E 在棱BB1 上运动. (1) 证明: AD ⊥C1E; (2) 当异面直线AC, C1E 所成的角为60◦时, 求三棱锥C1 −A1B1E 的体 积. A C D E B A1 C1 B1
3. 3. 某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直 线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物. 根据历年 的种植经验, 一株该种作物的年收获量Y (单位: kg) 与它的“相近”作物株 数X 之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里, 两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 米. (1) 完成下表, 并求所种作物的平均年收获量; Y 51 48 45 42 频数 4 (2) 在所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量至少为48 kg 的概率. 0 1 2 3 4 1 2 3 4 • • • • • • • • • • • • • • • 813
4. 4. 设Sn 为数列{an} 的前n 项和, 已知a1̸ = 0, 2an −a1 = S1 · Sn, n ∈N∗. (1) 求a1, a2, 并求数列{an} 的通项公式; (2) 求数列{nan} 的前n 项和.
5. 5. 已知F1, F2 分别是椭圆E: x2 5 + y2 = 1 的左、右焦点, F1, F2 关于直线 x + y −2 = 0 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点. (1) 求圆C 的方程; (2) 设过点F2 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a, b. 当ab 最大时, 求直线l 的方程.
6. 6. 已知函数f (x) = 1 −x 1 + x2 ex. (1) 求f (x) 的单调区间; (2) 证明: 当f (x1) = f (x2) (x1̸ = x2) 时, x1 + x2 < 0. 814

原卷配图（含真实几何/应用题图示）