2013年湖南（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年湖南（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 复数z = i · (1 + i) (i 为虚数单位) 在复平面上对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 某学校有男、女学生各500 名. 为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方 面是否存在显著差异, 拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查, 则宜采 用的抽样方法是 ( ) 5分
   A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法
3. 3. 在锐角△ABC 中, 角A, B 所对的边长分别为a, b. 若2a sin B = √ 3b, 则 角A 等于 ( ) 12 6 4 3 5分
   A. π B. π C. π D. π
4. 4. 若变量x, y 满足约束条件        y ⩽2x, x + y ⩽1, y ⩾−1, 则x + 2y 的最大值是 ( ) 2 3 2 5分
   A. −5 B. 0 C. 5 D. 5
5. 5. 函数f (x) = 2 ln x 的图象与函数g (x) = x2 −4x + 5 的图象的交点个数 为 ( ) 5分
   A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 6. 已知a, b 是单位向量, a · b = 0. 若向量c 满足|c −a −b| = 1, 则|c| 的 取值范围是 ( ) (A) [√ 2 −1, √ 2 + 1 ] (B) [√ 2 −1, √ 2 + 2 ] (C) [ 1, √ 2 + 1 ] (D) [ 1, √ 2 + 2 ] 5分
7. 7. 已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形, 则该正方体的 正视图的面积不可能等于 ( ) (B) √ 2 (C) √ 2 −1 2 (D) √ 2 + 1 2 5分
   A. 1
8. 8. 在等腰直角三角形ABC 中, AB = AC = 4, 点P 是边AB 上异于A, B 的一点, 光线从点P 出发, 经BC, CA 反射后又回到点P (如图). 若光线 QR 经过△ABC 的重心, 则AP 等于 ( ) A B Q P C R 3 3 5分
   A. 2 B. 1 C. 8 D. 4

填空题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 在平面直角坐标系xOy 中, 若直线l : { x = t, y = t −a, (t 为参数) 过椭圆 { x = 3 cos φ, y = 2 sin φ, (φ 为参数) 的右顶点, 则常数a 的值为 . 5分
   C. :
2. 2. 已知a, b, c ∈R, a + 2b + 3c = 6, 则a2 + 4b2 + 9c2 的最小值为 . 5分
3. 3. 如图, 在半径为 √ 7 的⊙O 中, 弦AB, CD 相交于点P, PA = PB = 2, PD = 1, 则圆心O 到弦CD 的距离为 . A B P O C D • 5分
4. 4. 若 ∫T 0 x2dx = 9, 则常数T 的值为 . 5分
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 如果输入a = 1, b = 2, 则输出的a 的值 为 . 开始 输入a, b 输出a 结束 否 是 5分
   A. > 8? A. = a + b
6. 6. 设F1, F2 是双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的两个焦点, P 是C 上一点, 若|PF1| + |PF2| = 6a, 且△PF1F2 的最小内角为30◦, 则C 的离 心率为 . 5分
7. 7. 设Sn 为数列{an} 的前n 项和, Sn = (−1)nan −1 2n , n ∈N∗, 则 (1) a3 = ; (2) S1 + S2 + · · · + S100 = . 5分
8. 8. 设函数f (x) = ax + bx −cx, 其中c > a > 0, c > b > 0. (1) 记集合M = {(a, b, c) | a, b, c 不能构成一个三角形的三条边长, 且 ; (2) 若a, b, c 是△ABC 的三条边长, 则下列结论正确的是 . (写出 所有正确结论的序号) ①∀x ∈(−∞, 1), f (x) > 0; ②∃x ∈R, 使ax, bx, cx 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形, 则∃x ∈(1, 2), 使f (x) = 0. 5分
   A. = b}, 则(a, b, c) ∈M 所对应的f (x) 的零点的取值集合为

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = sin ( x −π 6 ) + cos ( x −π 3 ) , g (x) = 2sin2 x 2. (1) 若α 是第一象限角, 且f (α) = 3 √ 3 5 , 求g (α) 的值; (2) 求使f (x) ⩾g (x) 成立的x 的取值集合.
2. 2. 某人在如图所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直 线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物. 根据历年 的种植经验, 一株该种作物的年收获量Y (单位: kg) 与它的“相近”作物株 数X 之间的关系如下表所示: X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里, 两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 米. (1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物, 求它们恰好“相 近”的概率; (2) 从所种作物中随机选取一株, 求它的年收获量的分布列与数学期望. 0 1 2 3 4 1 2 3 4 • • • • • • • • • • • • • • • 811
3. 3. 如图, 在直棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, AD BC, ∠BAD = 90◦, AC ⊥BD, BC = 1, AD = AA1 = 3. (1) 证明: AC ⊥B1D; (2) 求直线B1C1 与平面ACD1 所成角的正弦值. A B C D A1 B1 C1 D1
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任 一路径称为M 到N 的一条“L 路径”. 如图所示的路径MM1M2M3N 与 路径MN1N 都是M 到N 的“L 路径”. 某地有三个新建的居民区, 分别位 于平面xOy 内三点A (3, 20), B (−10, 0), C (14, 0) 处. 现计划在x 轴上方 区域(包含x 轴) 内的某一点P 处修建一个文化中心. (1) 写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2) 若以原点O 为圆心, 半径为1 的圆的内部是保护区, “L 路径”不能进入 保护区, 请确定点P 的位置, 使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. x y O N N1 M1 M2 M3 M
5. 5. 过抛物线E: x2 = 2py (p > 0) 的焦点F 作斜率分别为k1, k2 的两条不同 的直线l1, l2, 且k1 + k2 = 2, l1 与E 相交于点A, B, l2 与E 相交于点C, 线记为l. (1) 若k1 > 0, k2 > 0, 证明; # » FM · # » FN < 2p2; (2) 若点M 到直线l 的距离的最小值为7 √ 5 5 , 求抛物线E 的方程.
6. 6. 已知a > 0, 函数f (x) =  x −a x + 2a . (1) 记f (x) 在区间[0, 4] 上的最大值为g (a), 求g (a) 的表达式; (2) 是否存在a, 使函数y = f (x) 在区间(0, 4) 内的图象上存在两点, 在该 两点处的切线相互垂直? 若存在, 求a 的取值范围; 若不存在, 请说明理由. 812

原卷配图（含真实几何/应用题图示）