2013年福建（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年福建（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数z = −1 −2i (i 为虚数单位) 在复平面内对应的点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 设点P (x, y), 则“x = 2 且y = −1”是“点P 在直线l: x + y −1 = 0 上” 的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 若集合A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 4}, 则A ∩B 的子集个数为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 16
4. 4. 双曲线x2 −y2 = 1 的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) 2 (B) √ 2 2 (D) √ 2 5分
   A. 1 C. 1
5. 5. 函数f (x) = ln (x2 + 1) 的图象大致是 ( ) (A) y x O (B) y x O (C) y x O (D) y x O 5分
6. 6. 若变量x, y 满足约束条件        x + y ⩽2, x ⩾1, y ⩾0, 则z = 2x + y 的最大值和最小值 分别为 ( ) 5分
   A. 4 和3 B. 4 和2 C. 3 和2 D. 2 和0
7. 7. 若2x + 2y = 1, 则x + y 的取值范围是 ( ) 5分
   A. [0, 2] B. [−2, 0] C. [−2, +∞) D. (−∞, −2]
8. 8. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 如果输入某个正整数n 后, 输 出的S ∈(10, 20), 那么n 的值为 ( ) 开始 S = 0, k = 1 输入n S = 1 + 2S k = k + 1 k > n? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9. 9. 将函数f (x) = sin (2x + θ) ( −π 2 < θ < π 2 ) 的图象向右平移φ (φ > 0) 个单位长度后得到函数g (x) 的图象, 若f (x), g (x) 的图象都经过点 P ( 0, √ 3 2 ) , 则φ 的值可以是 ( ) 3 6 2 6 5分
   A. 5π B. 5π C. π D. π
10. 10. 在四边形ABCD 中, # » AC = (1, 2), # » BD = (−4, 2), 则该四边形的面积 为 ( ) (A) √ 5 √ 5 5分
    B. 2 C. 5 D. 10
11. 11. 已知x 与y 之间的几组数据如下表: x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ˆy = ˆbx + ˆa, 若某同学根据上 表中的前两组数据(1, 0) 和(2, 2) 求得的直线方程为y = b′x + a′, 则以下 结论正确的是 ( ) 5分
    A. ˆb > b′, ˆa > a′ (B) ˆb > b′, ˆa < a′ (C) ˆb < b′, ˆa > a′ (D) ˆb < b′, ˆa < a′
12. 12. 设函数f (x) 的定义域为R, x0 (x0̸ = 0) 是f (x) 的极大值点, 以下结论一 定正确的是 ( ) 5分
    A. ∀x ∈R, f (x) ⩽f (x0) B. −x0 是f (−x) 的极小值点 C. −x0 是−f (x) 的极小值点 D. −x0 是−f (−x) 的极小值点

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 已知函数f (x) =    2x3, x < 0, −tan x, 0 ⩽x < π 2 , 则f ( f (π 4 )) = . 5分
2. 2. 利用计算机产生0 ∼1 之间的均匀随机数a, 则事件“3a −1 < 0”发生的概 率为 . 5分
3. 3. 椭圆Γ: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为F1, F2, 焦距为2c, 若 直线y = √ 3 (x + c) 与椭圆Γ 的一个交点M 满足∠MF1F2 = 2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等于 . 5分
4. 4. 设S, T 是R 的两个非空子集, 如果存在一个从S 到T 的函数y = f (x) 满足: (1) T = {f (x) | x ∈S }; (2) 对任意x1, x2 ∈S, 当x1 < x2 时, 恒有f (x1) < f (x2), 那么称这两个集合“保序同构”. 现给出以下3 对集合: ①A = N, B = N∗; ②A = {x | −1 ⩽x ⩽3}, B = {x | −8 ⩽x ⩽10}; ③A = {x | 0 < x < 1}, B = R. 其中, “保序同构”的集合对的序号是 . (写出所有“保序同构”的集合 对的序号) 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知等差数列{an} 的公差d = 1, 前n 项和为Sn. (1) 若1, a1, a3 成等比数列, 求a1; (2) 若S5 > a1a9, 求a1 的取值范围.
2. 2. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PD ⊥平面ABCD, AB DC, AB ⊥AD, BC = 5, DC = 3, AD = 4, ∠PAD = 60◦. (1) 当正视方向与向量# » AD 的方向相同时, 画出四棱锥P −ABCD 的正视 图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2) 若M 为PA 的中点, 求证: DM 平面PBC; (3) 求三棱锥D −PBC 的体积. A B C D P 801
3. 3. 某工厂有25 周岁以上(含25 周岁) 工人300 名, 25 周岁以下工人200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方法, 从 中抽取了100 名工人, 先统计了他们某月的日平均生产件数, 然后按工人 年龄在“25 周岁以上(含25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组, 再将两组工 人的日平均生产件数分成5 组: [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100] 分别加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图. 频率 组距 0 件数 50 60 70 25 周岁以上组 80 90100 0.0350 0.0200 0.0050 频率 组距 0 件数 50 60 70 25 周岁以下组 80 90100 0.0250 0.0325 0.0050 (1) 从样本中日平均生产件数不足60 件的工人中随机抽取2 人, 求至少抽 到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2) 规定日平均生产件数不少于80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件 完成2 × 2 列联表, 并判断是否有90% 的把握认为“生产能手与工人所在 的年龄组有关”? 附: χ2 = n(n11n22 −n12n21)2 n1+n2+n+1n+2 P (χ2 ⩾k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 (注: 此公式也可以写成K2 = n(ad −bc)2
4. 4. 如图, 抛物线E: y2 = 4x 的焦点为F, 准线l 与x 轴的交点为A. 点C 在 抛物线E 上, 以C 为圆心, |CO| 为半径作圆, 设圆C 与准线l 交于不同 的两点M, N. (1) 若点C 的纵坐标为2, 求|MN|; (2) 若|AF|2 = |AM| · |AN|, 求圆C 的半径. x y O C A F N M l •
5. 5. 如图, 在等腰直角△OPQ 中, ∠POQ = 90◦, OP = 2 √ 2, 点M 在线段 PQ 上. (1) 若OM = √ 5, 求PM 的长; (2) 若点N 在线段MQ 上, 且∠MON = 30◦, 问: 当∠POM 取何值时, △OMN 的面积最小? 并求出面积的最小值. O P Q M N
6. 6. 已知函数f (x) = x −1 + a ex , (a ∈R, e 为自然对数的底数). (1) 若曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线平行于x 轴, 求a 的值; (2) 求函数f (x) 的极值; (3) 当a = 1 时, 若直线l: y = kx −1 与曲线y = f (x) 没有公共点, 求k 的最大值. 802

原卷配图（含真实几何/应用题图示）