2013年福建（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年福建（理科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知复数z 的共轭复数z = 1 + 2i (i 为虚数单位), 则z 在复平面内对应的 点位于 ( ) 5分
   A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 2. 已知集合A = {1, a}, B = {1, 2, 3}, 则“a = 3”是“A ⊆B”的 ( ) 5分
   A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 3. 双曲线x2 4 −y2 = 1 的顶点到渐近线的距离等于 ( ) 5 5 √ 5 5 √ 5 5 5分
   A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
4. 4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将他们的模块测试成绩分成6 组: [40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100) 加以统计, 得到如 图所示的频率分布直方图. 已知高一年级共有学生600 名, 据此估计, 该模 块测试成绩不少于60 分的学生人数为 ( ) 频率 组距 0 分数 0.005 0.030 0.025 0.015 0.010 40 50 60 70 80 90 100 5分
   A. 588 B. 480 C. 450 D. 120
5. 5. 满足a, b ∈{−1, 0, 1, 2}, 且关于x 的方程ax2 + 2x + b = 0 有实数解的 有序数对(a, b) 的个数为 ( ) 5分
   A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
6. 6. 阅读如图所示的程序框图, 若输入的k = 10, 则该算法的功能是 ( ) 开始 S = 0, i = 1 输入k S = 1 + 2S i = i + 1 i > k? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 计算数列{2n−1} 的前10 项和 B. 计算数列{2n−1} 的前9 项和 C. 计算数列{2n −1} 的前10 项和 D. 计算数列{2n −1} 的前9 项和
7. 7. 在四边形ABCD 中, # » AC = (1, 2), # » BD = (−4, 2), 则该四边形的面积 为 ( ) (A) √ 5 √ 5 5分
   B. 2 C. 5 D. 10
8. 8. 设函数f (x) 的定义域为R, x0 (x0̸ = 0) 是f (x) 的极大值点, 以下结论一 定正确的是 ( ) 5分
   A. ∀x ∈R, f (x) ⩽f (x0) B. −x0 是f (−x) 的极小值点 C. −x0 是−f (x) 的极小值点 D. −x0 是−f (−x) 的极小值点
9. 9. 已知等比数列{an} 的公比为q, 记bn = am(n−1)+1 + am(n−1)+2 + · · · + am(n−1)+m, cn = am(n−1)+1 · am(n−1)+2 · · · · · am(n−1)+m, (m, n ∈N∗), 则 以下结论一定正确的是 ( ) 5分
   A. 数列{bn} 为等差数列, 公差为qm B. 数列{bn} 为等比数列, 公比为q2m C. 数列{cn} 为等比数列, 公比为qm2 D. 数列{cn} 为等比数列, 公比为qmm
10. 10. 设S, T 是R 的两个非空子集, 如果存在一个从S 到T 的函数y = f (x) 满足: ①T = {f (x) | x ∈S }; ②对任意x1, x2 ∈S, 当x1 < x2 时, 恒有f (x1) < f (x2); 那么称这两个集合“保序同构”, 以下集合对不是“保序同构”的是 ( ) 5分
    A. A = N∗, B = N B. A = {x | −1 ⩽x ⩽3}, B = {x | x = −8 或0 < x ⩽10} C. A = {x | 0 < x < 1}, B = R D. A = Z, B = Q

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 利用计算机产生0 ∼1 之间的均匀随机数a, 则事件“3a −1 > 0”发生的概 率为 . 5分
2. 2. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体, 如果该组合体的正视图、 侧视图、俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2 的正方形, 则该球 的表面积是 . 5分
3. 3. 如图, 在△ABC 中, 已知点D 在BC 边上, AD ⊥AC, sin ∠BAC = 2 √ 2 3 , AB = 3 √ 2, AD = 3, 则BD 的长为 . B D C A 5分
4. 4. 椭圆Γ: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为F1, F2, 焦距为2c, 若 直线y = √ 3 (x + c) 与椭圆Γ 的一个交点M 满足∠MF1F2 = 2∠MF2F1, 则该椭圆的离心率等于 . 5分
5. 5. 当x ∈R, |x| < 1 时, 有如下表达式: 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · = 1 1 −x. 两边同时积分得: ∫ 1 2 0 1dx+ ∫ 1 2 0 xdx+ ∫ 1 2 0 x2dx+ · · · + ∫ 1 2 0 xndx+ · · · = ∫ 1 2 0 1 1 −xdx, 从而得到如下等式: 1 × 1 2 + 1 2 × (1 2 )2 + 1 3 × (1 2 )3 + · · · + 1 n + 1 × (1 2 )n+1 + · · · = ln 2. 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法, 计算: C0 n × 1 2 + 1 2C1 n × (1 2 )2 + 1 3C2 n × (1 2 )3 +· · ·+ 1 n + 1Cn n × (1 2 )n+1 = . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某联欢晚会举行抽奖活动, 举办方设置了甲、乙两种抽奖方案, 方案甲的中 奖率为2 3, 中奖可以获得2 分; 方案乙的中奖率为2 5, 中奖可以获得3 分; 未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会, 每次抽奖中奖与否互不影 响, 晚会结束后凭分数兑换奖品. (1) 若小明选择方案甲抽奖, 小红选择方案乙抽奖, 记他们的累计得分为X, 求X ⩽3 的概率; (2) 若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖, 问: 他们选 择何种方案抽奖, 累计得分的数学期望较大? 799
2. 2. 已知函数f (x) = x −a ln x (a ∈R). (1) 当a = 2 时, 求曲线y = f (x) 在点A (1, f (1)) 处的切线方程; (2) 求函数f (x) 的极值.
3. 3. 如图, 在正方形OABC 中, O 为坐标原点, 点A 的坐标为(10, 0), 点C 的 坐标为(0, 10). 分别将线段OA 和AB 〸等分, 分点分别记为A1, A2, · · · , A9 和B1, B2, · · · , B9, 连接OBi, 过Ai 作x 轴的垂线与OBi 交于点Pi (i ∈N∗, 1 ⩽i ⩽9). (1) 求证: 点Pi (i ∈N∗, 1 ⩽i ⩽9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线 (2) 过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M, N, 若△OCM 与 △OCN 的面积之比为4 : 1, 求直线l 的方程. x y O B Pi B1 B2 Bi B9 A C A1A2 Ai A9 • •
4. 4. 如图, 在四棱柱ABCD −A1B1C1D1 中, 侧棱AA1 ⊥底面ABCD, AB DC, AA1 = 1, AB = 3k, AD = 4k, BC = 5k, DC = 6k (k > 0). (1) 求证: CD ⊥平面ADD1A1; (2) 若直线AA1 与平面AB1C 所成角的正弦值为6 7, 求k 的值; (3) 现将与四棱柱ABCD −A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱 柱拼成一个新的四棱柱, 规定: 若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同, 则 视为同一种拼接方案, 问: 共有几种不同的拼接方案? 在这些拼接成的新 四棱柱中, 记其中最小的表面积为f (k), 写出f (k) 的解析式. (直接写出 答案, 不必说明理由) A B C D A1 B1 C1 D1
5. 5. 已知函数f (x) = sin (ωx + φ) (ω > 0, 0 < φ < π) 的周期为π, 图象的一 个对称中心为 (π 4 , 0 ) , 将函数f (x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再将得到的图象向右平移π 2 个单位长度后得到函数 (1) 求函数f (x) 与g (x) 的解析式; (2) 是否存在x0 ∈ (π 6 , π 4 ) , 使得f (x0), g (x0), f (x0) g (x0) 按照某种顺序 成等差数列? 若存在, 请确定x0 的个数, 若不存在, 说明理由; (3) 求实数a 与正整数n, 使得F (x) = f (x) + ag (x) 在(0, nπ) 内恰有 2013 个零点.
6. 6. 三选二. 【A】已知直线l: ax + y = 1 在矩阵A = ( 1 2 0 1 ) 对应的变换作用下变为 直线l′: x + by = 1. (1) 求实数a, b 的值; (2) 若点P (x0, y0) 在直线l 上, 且A ( x0 y0 ) = ( x0 y0 ) , 求点P 的坐标. 【B】在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系. 已知点A 的极坐标为 (√ 2, π 4 ) , 直线l 的极坐标方程为 ρ cos ( θ −π 4 ) = a, 且点A 在直线l 上. (1) 求a 的值及直线l 的直角坐标方程; (2) 圆C 的参数方程为 { x = 1 + cos α, y = sin α, (α 为参数), 试判断直线l 与圆C 的位置关系. 【C】设不等式|x −2| < a (a ∈N∗) 的解集为A, 且3 2 ∈A, 1 2 /∈A. (1) 求a 的值; (2) 求函数f (x) = |x + a| + |x −2| 的最小值. 800

原卷配图（含真实几何/应用题图示）