2013年辽宁（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年辽宁（理科）），共 24 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 复数的z = 1 i −1 模为 ( ) 2 (B) √ 2 2 (C) √ 2 5分
   A. 1 D. 2
2. 2. 已知集合A = {x | 0 < log4 x < 1}, B = {x | x ⩽2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. (0, 1) B. (0, 2] C. (1, 2) D. (1, 2]
3. 3. 已知点A (1, 3), B (4, −1), 则与向量# » AB 同方向的单位向量为 ( ) (A) (3 5, −4 5 ) (B) (4 5, −3 5 ) (C) ( −3 5, 4 5 ) (D) ( −4 5, 3 5 ) 5分
4. 4. 下面是关于公差d > 0 的等差数列{an} 的四个命题: p1: 数列{an} 是递增数列; p2: 数列{nan} 是递增数列; p3: 数列 {an n } 是递增数列; p4: 数列{an + 3nd} 是递增数列. 其中的真命题为 ( ) 5分
   A. p1, p2 B. p3, p4 C. p2, p3 D. p1, p4
5. 5. 某班的全体学生参加英语测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组 依次为: [20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100]. 若低于60 分的人数是15, 则 该班的学生人数是 ( ) 频率 组距 0 成绩/分 20 40 60 80 100 0.005 0.010 0.020 0.015 5分
   A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
6. 6. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若a sin B cos C + 2b, 且a > b, 则∠B = ( ) 6 3 3 6 5分
   C. sin B cos A = 1 A. π B. π C. 2π D. 5π
7. 7. 使 ( 3x + 1 x√x )n (n ∈N+) 的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( ) 5分
   A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8. 8. 执行如图所示的程序框图, 若输入n = 10, 则输出S = ( ) 开始 输入n S = 0, i = 2 i ⩽n S = S + 1 i2 −1 i = i + 2 输出S 结束 是 否 11 11 55 55 5分
   A. 5 B. 10 C. 36 D. 72
9. 9. 已知点O (0, 0), A (0, b), B (a, a3). 若△OAB 为直角三角形, 则必有( ) a ( a ) = 0 a  = 0 5分
   A. b = a3 B. b = a3 + 1 C. (b −a3) B. −a3 −1 D. |b −a3| + B. −a3 −1
10. 10. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1 的6 个顶点都在球O 的球面上. 若AB = 3, AC = 4, AB ⊥AC, AA1 = 12, 则球O 的半径为 ( ) √ 17 2 √ 10 2 √ 10 5分
    A. 3 B. 2 C. 13 D. 3
11. 11. 已知函数f (x) = x2 −2 (a + 2) x + a2, g (x) = −x2 + 2 (a −2) x −a2 + 8, 设H1 (x) = max {f (x) , g (x)}, H2 (x) = min {f (x) , g (x)} (max {p, q} 表示p, q 中的较大值, min {p, q} 表示p, q 中的较小值). 记H1 (x) 的最 小值为A, H2 (x) 的最大值为B, 则A −B = ( ) 5分
    A. 16 B. −16 C. a2 −2a −16 D. a2 + 2a −16
12. 12. 设函数f (x) 满足x2f ′ (x) + 2xf (x) = ex x , f (2) = e2 8 , 则x > 0 时, ( ) 5分
    F. (x) A. 有极大值, 无极小值 B. 有极小值, 无极大值 C. 既有极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 . 2 2 1 1 4 1 1 5分
2. 2. 已知等比数列{an} 是递增数列, Sn 是{an} 的前n 项和, 若a1, a3 是方 程x2 −5x + 4 = 0 的两个根, 则S6 = . 5分
3. 3. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为F, C 与过原点的直线相 交于A, B 两点, 连接AF, BF, 若|AB| = 10, |AF| = 6, cos ∠ABF = 4 5, 则椭圆C 的离心率e = . 5分
4. 4. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数, 从全校随机抽取5 个班级, 把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为7, 样本方 差为4, 且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 8 题）

1. 1. 设向量a = (√ 3 sin x, sin x ) , b = (cos x, sin x), x ∈ [ 0, π 2 ] . (1) 若|a| = |b|, 求x 的值; (2) 设函数f (x) = a · b, 求f (x) 的最大值.
2. 2. 如图, AB 是圆的直径, PA 垂直圆所在的平面, C 是圆上的点. (1) 求证: 平面PAC ⊥平面PBC; (2) 若AB = 2, AC = 1, PA = 1, 求二面角C −PB −A 的余弦值. A P B C 821
3. 3. 现有10 道题, 其中6 道甲类题, 4 道乙类题, 张同学从中任取3 道题解答. (1) 求张同学至少取到1 道乙类题的概率; (2) 已知所取的3 道题中有2 道甲类题, 1 道乙类题. 设张同学答对每道甲 类题的概率都是3 5, 答对每道乙类题的概率都是4 5, 且各题答对与否相互 独立. 用X 表示张同学答对题的个数, 求X 的分布列和数学期望.
4. 4. 如图, 抛物线C1: x2 = 4y, C2: x2 = −2py (p > 0). 点M (x0, y0) 在抛物 线C2 上, 过M 作C1 的切线, 切点为A, B (M 为原点O 时, A, B 重合 于O). 当x0 = 1 − √ 2 时, 切线MA 的斜率为−1 2. (1) 求p 的值; (2) 当M 在C2 上运动时, 求线段AB 中点N 的轨迹方程(A, B 重合于 O 时, 中点为O). x y O B A M
5. 5. 已知函数f (x) = (1 + x) e−2x, g (x) = ax + x3 2 + 1 + 2x cos x, 当x ∈[0, 1] 时, (1) 求证: 1 −x ⩽f (x) ⩽ 1 1 + x; (2) 若f (x) ⩾g (x) 恒成立, 求实数a 的取值范围.
6. 6. 如图, AB 为⊙O 直径, 直线CD 与⊙O 相切于E, AD 垂直CD 于D, BC 垂直CD 于C, EF 垂直AB 于F, 连接AE, BE. 证明: (1) ∠FEB = ∠CEB; (2) EF 2 = AD · BC. A B E F O C D •
7. 7. 在直角坐标系xOy 中, 以O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆 C1, 直线C2 的极坐标方程分别为ρ = 4 sin θ, ρ cos ( θ −π 4 ) = 2 √ 2. (1) 求C1 与C2 交点的极坐标; (2) 设P 为C1 的圆心, Q 为C1 与C2 交点连线的中点, 已知直线PQ 的 参数方程为    x = t3 + a, y = b 2t3 + 1, (t ∈R 为参数), 求a, b 的值.
8. 8. 已知函数f (x) = |x −a|, 其中a > 1. (1) 当a = 2 时, 求不等式f (x) ⩾4 −|x −4| 的解集; (2) 已知关于 x 的不等式 |f (2x + a) −2f (x)| ⩽ 2 的解集为 {x | 1 ⩽x ⩽2}, 求a 的值. 822

原卷配图（含真实几何/应用题图示）