2013年重庆（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年重庆（文科）），共 21 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 已知全集U = {1, 2, 3, 4}, 集合A = {1, 2}, B = {2, 3}, 则 ∁U (A ∪B) = ( ) 5分
   A. {1, 3, 4} B. {3, 4} C. {3} D. {4}
2. 2. 命题“对任意x ∈R, 都有x2 ⩾0”的否定为 ( ) 0 < 0 0 ⩾0 5分
   A. 存在x0 ∈R, 使得x2 B. 不存在x ∈R, 使得x2 < 0 C. 存在x0 ∈R, 使得x2 D. 对任意x ∈R, 都有x2 < 0
3. 3. 函数y = 1 log2 (x −2) 的定义域是 ( ) 5分
   A. (−∞, 2) B. (2, +∞) C. (2, 3) ∪(3, +∞) D. (2, 4) ∪(4, +∞)
4. 4. 设P 是圆(x −3)2 + (y + 1)2 = 4 上的动点, Q 是直线x = −3 上的动点, 则|PQ| 的最小值为 ( ) 5分
   A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
5. 5. 执行如图所示的程序框图, 则输出的k 的值是 ( ) 开始 k = 1, s = 1 s = s + (k −1)2 k = k + 1 s > 15? 输出k 结束 是 否 5分
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 6. 如图是某公司10 个销售店某月销售某产品数量(单位: 台) 的茎叶图, 则 数据落在区间[22, 30) 内的频率为 ( ) 1 8 9 2 1 2 2 7 9 3 0 0 3 5分
   A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
7. 7. 关于x 的不等式x2 −2ax −8a2 < 0 (a > 0) 的解集为(x1, x2), 且 x2 −x1 = 15, 则a = ( ) 2 2 4 2 5分
   A. 5 B. 7 C. 15 D. 15
8. 8. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 ( ) 2 3 3 4 10 8 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
   A. 180 B. 200 C. 220 D. 240
9. 9. 已知函数f (x) = ax3 + b sin x + 4 (a, b ∈R), f (lg (log210)) = 5, 则 ( ) 5分
   F. (lg (lg 2)) = A. −5 B. −1 C. 3 D. 4
10. 10. 设双曲线C 的中心为点O, 若有且只有一对相交于点O, 所成的角为60◦ 的直线A1B1 和A2B2, 使|A1B1| = |A2B2|, 其中A1, B1 和A2, B2 分别 是这对直线与双曲线C 的交点, 则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) (A) ( 2 √ 3 3 , 2 ] (B) [ 2 √ 3 3 , 2 ) (C) ( 2 √ 3 3 , +∞ ) (D) [ 2 √ 3 3 , +∞ ) 5分

填空题（每题 5 分）（共 5 题）

1. 1. 设复数z = 1 + 2i (i 是虚数单位), 则|z| = . 5分
2. 2. 若2, a, b, c, 9 成等差数列, 则c −a = . 5分
3. 3. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排, 则甲、乙两人相邻而站的概率为 . 5分
4. 4. 在OA 为边、OB 为对角线的矩形中, 已知# » OA = (−3, 1), # » OB = (−2, k), 则实数k = . 5分
5. 5. 设0 ⩽α ⩽π, 不等式8x2 −(8 sin α) x + cos 2α ⩾0 对x ∈R 恒成立, 则 α 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 设数列{an} 满足: a1 = 1, an+1 = 3an, n ∈N+. (1) 求{an} 的通项公式及前n 项和Sn; (2) 已知{bn} 是等差数列, Tn 为其前n 项和, 且b1 = a2, b3 = a1 +a2 +a3, 求T20.
2. 2. 从某居民区随机抽取10 个家庭, 获得第i 个家庭的月收入xi (单位: 千 元) 与月储蓄yi (单位: 千元) 的数据资料, 算得 10 ∑ i=1 xi = 80, 10 ∑ i=1 yi = 20, 10 ∑ i=1 xiyi = 184, 10 ∑ i=1 x2 i = 720. (1) 求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y = bx + a; (2) 判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关; (3) 若该居民区某家庭月收入为7 千元, 预测该家庭的月储蓄. 附: 线性回归方程y = bx + a 中, b = n∑ i=1 xiyi −nxy n∑ i=1 x2 i −nx2 , a = y −bx, 其中x, y 为样本平均值, 线性回归方程也可写为by = bbx + ba.
3. 3. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 且a2 = b2 + c2 + √ 3bc. (1) 求A; (2) 设a = √ 3, S 为△ABC 的面积, 求S + 3 cos B cos C 的最大值, 并指 出此时B 的值. 793
4. 4. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, PA = 2 √ 3, BC = CD = 2, ∠ACB = ∠ACD = π 3 . (1) 求证: BD ⊥平面PAC; (2) 若侧棱PC 上的点F 满足PF = 7FC, 求三棱锥P −BDF 的体积. A B C D F P
5. 5. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设该蓄水池的底面半 径为r 米, 高为h 米, 体积为V 立方米. 假设建造成本仅与表面积有关, 侧面的建造成本为100 元/平方米, 底面的建造成本为160 元/平方米, 该 蓄水池的总建造成本为12000π 元(π 为圆周率). (1) 将V 表示成r 的函数V (r), 并求该函数的定义域; (2) 讨论函数V (r) 的单调性, 并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大.
6. 6. 如图, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x 轴上, 离心率e = √ 2 2 , 过左焦点F1 作x 轴的垂线交椭圆于A, A′ 两点, |AA′| = 4. (1) 求该椭圆的标准方程; (2) 取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P ′, 过P, P ′ 作圆心 为Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q 外, 求△PP ′Q 的面积S 的最大 值, 并写出对应的圆Q 的标准方程. x y O Q A F1 A′ P P ′ • 794

原卷配图（含真实几何/应用题图示）