本卷为官方高考数学真题（2013年重庆（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。
-
1. 已知全集U
=
{1, 2, 3, 4}, 集合A
=
{1, 2}, B
=
{2, 3}, 则
∁U (A ∪B) =
(
) 5分
A. {1, 3, 4}
B. {3, 4}
C. {3}
D. {4}
-
2. 命题“对任意x ∈R, 都有x2 ⩾0”的否定为
(
)
0 ⩾0
0 < 0 5分
A. 对任意x ∈R, 都有x2 < 0
B. 不存在x ∈R, 使得x2 < 0
C. 存在x0 ∈R, 使得x2
D. 存在x0 ∈R, 使得x2
-
3. √
(3 −a) (a + 6) (−6 ⩽a ⩽3) 的最大值为
(
)
2
√
2
2 5分
A. 9
B. 9
C. 3
D. 3
-
4. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各5 名学生在一次英语听力测试中的成绩
(单位: 分).
甲组
乙组
9
0
9
x
2
1
5
y
8
7
4
2
4
已知甲组数据的中位数为15, 乙组数据的平均数为16.8, 则x, y 的值分别
为
(
) 5分
A. 2, 5
B. 5, 5
C. 5, 8
D. 8, 8
-
5. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为
(
)
2
3
3
4
10
8
正(主) 视图
俯视图
侧(左) 视图
3
3 5分
A. 560
B. 580
C. 200
D. 240
-
6. 若a < b < c, 则函数f (x) = (x −a) (x −b) + (x −b) (x −c) +
(x −c) (x −a) 的两个零点分别位于区间
(
) 5分
A. (a, b) 和(b, c) 内
B. (−∞, a) 和(a, b) 内
C. (b, c) 和(c, +∞) 内
D. (−∞, a) 和(c, +∞) 内
-
7. 已知圆C1: (x −2)2 + (y −3)2 = 1, 圆C2: (x −3)2 + (y −4)2 = 9, M, N
分别是圆C1, C2 上的动点, P 为x 轴上的动点, 则|PM| + |PN| 的最小
值为
(
)
√
2 −4
(B)
√
17 −1
√
2
(D)
√
17 5分
A. 5
C. 6 −2
-
8. 执行如图所示的程序框图, 如果输出s = 3, 那么判断框内应填入的条件
是
(
)
开始
k = 2, s = 1
s = s · logk(k + 1)
k = k + 1
输出s
结束
否
是 5分
A. k ⩽6
B. k ⩽7
C. k ⩽8
D. k ⩽9
-
9. 4 cos 50◦−tan 40◦=
(
)
(A)
√
2
(B)
√
2 +
√
3
2
(C)
√
3
√
2 −1 5分
D. 2
-
10. 在平面上, # »
AB1 ⊥# »
AB2,
# »
OB1
=
# »
OB2
= 1, # »
AP = # »
AB1 + # »
AB2.
若
# »
OP
< 1
2, 则
# »
OA
的取值范围是
(
)
(A)
(
0,
√
5
2
]
(B)
(√
5
2 ,
√
7
2
]
(C)
(√
5
2 ,
√
2
]
(D)
(√
7
2 ,
√
2
] 5分
-
1. 已知复数z =
5i
1 + 2i (i 是虚数单位), 则|z| =
. 5分
-
2. 已知{an} 是等差数列, a1 = 1, 公差d̸ = 0, Sn 为其前n 项和, 若a1, a2,
a5 成等比数列, 则S8 =
. 5分
-
3. 从3 名骨科、4 名脑外科和5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗
小组, 则骨科、脑外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是
.
(用数字作答) 5分
-
4. 如图, 在△ABC 中, ∠C = 90◦, ∠A = 60◦, AB = 20, 过C 作△ABC
的外接圆的切线CD, BD ⊥CD, BD 与外接圆交于点E, 则DE 的长
为
.
A
B
C
E
D 5分
-
5. 在直角坐标系xOy 中, 以原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系. 若极坐标方程为ρ cos θ = 4 的直线与曲线
{
x = t2,
y = t3,
(t 为参数) 相交于
A, B 两点, 则|AB| =
. 5分
-
6. 若关于实数x 的不等式|x −5| + |x + 3| < a 无解, 则实数a 的取值范围
是
. 5分
-
1. 设f (x) = a(x −5)2 + 6 ln x, 其中a ∈R, 曲线y = f (x) 在点(1, f (1))
处的切线与y 轴相交于点(0, 6).
(1) 确定a 的值;
(2) 求函数f (x) 的单调区间与极值.
-
2. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定: 在一次摸奖中, 摸奖者先从装有
3 个红球与4 个白球的袋中任意摸出3 个球, 再从装有1 个蓝球与2 个
白球的袋中任意摸出1 个球, 根据摸出4 个球中红球与蓝球的个数, 设一、
二、三等奖如下:
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3 红1 蓝
200 元
二等奖
3 红0 蓝
50 元
三等奖
2 红1 蓝
10 元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1) 求一次摸球恰好摸到1 个红球的概率;
(2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X).
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-
3. 如图, 四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, BC = CD = 2, AC = 4,
∠ACB = ∠ACD = π
3 , F 为PC 的中点, AF ⊥PB.
(1) 求PA 的长;
(2) 求二面角B −AF −D 的正弦值.
A
B
C
D
F
P
-
4. 在△ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别是a, b, c, 且a2 + b2 +
√
2ab = c2.
(1) 求C;
(2) 设cos A cos B = 3
√
2
5 , cos (α + A) cos (α + B)
cos2α
=
√
2
5 , 求tan α 的值.
-
5. 如图, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x 轴上, 离心率e =
√
2
2 , 过左焦点F1
作x 轴的垂线交椭圆于A, A′ 两点, |AA′| = 4.
(1) 求该椭圆的标准方程;
(2) 取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P ′, 过P, P ′ 作圆心
为Q 的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q 外. 若PQ ⊥P ′Q, 求圆Q 的标
准方程.
x
y
O
Q
A
F1
A′
P
P ′
•
-
6. 对正整数n, 记In = {1, 2, · · · , n}, Pn =
{ m
√
k
| m ∈In, k ∈In
}
.
(1) 求集合P7 中元素的个数;
(2) 若Pn 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方, 则称A 为“稀疏
集”. 求n 的最大值, 使Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并.
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