2013年陕西（文科）

本卷为官方高考数学真题（2013年陕西（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设全集为R, 函数f (x) = √1 −x 的定义域为M, 则∁RM 为 ( ) 5分
   A. (−∞, 1) B. (1, +∞) C. (−∞, 1] D. [1, +∞)
2. 2. 已知向量a = (1, m), b = (m, 2), 若a b, 则实数m 等于 ( ) √ 2 (B) √ 2 √ 2 或 √ 2 5分
   A. − C. − D. 0
3. 3. 设a, b, c 均为不等于1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是 ( ) 5分
   A. logab · logcb = logca B. logab · logca = logcb C. loga (bc) = logab · logac D. loga (b + c) = logab + logac
4. 4. 根据下列算法语句, 当输入x 为60 时, 输出y 的值为 ( ) 输入x; If x ⩽50 Then y = 0.5 ∗x Else y = 25 + 0.6 ∗(x −50) End If 输出y. 5分
   A. 25 B. 30 C. 31 D. 61
5. 5. 对一批产品的长度(单位: 毫米) 进行抽样检测, 下图为检测结果的频率分 布直方图, 根据标准, 产品长度在区间[20, 25) 上为一等品, 在区间[15, 20) 和[25, 30) 上为二等品, 在区间[10, 15) 和[30, 35] 上为三等品. 用频率估 计概率, 现从该批产品中随机抽取1 件, 则其为二等品的概率是 ( ) 频率 组距 0 长度/毫米 10 15 20 25 30 35 0.02 0.04 0.06 0.03 5分
   A. 0.09 B. 0.20 C. 0.25 D. 0.45
6. 6. 设z 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) 5分
   A. 若z2 ⩾0, 则z 是实数 B. 若z2 < 0, 则z 是虚数 C. 若z 是虚数, 则z2 ⩾0 D. 若z 是纯虚数, 则z2 < 0
7. 7. 若点(x, y) 位于曲线y = |x| 与y = 2 所围成的封闭区域, 则2x −y 的最 小值是 ( ) 5分
   A. −6 B. −2 C. 0 D. 2
8. 8. 已知点M (a, b) 在圆O: x2 + y2 = 1 外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位 置关系是 ( ) 5分
   A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定
9. 9. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C + c cos B = ( ) 5分
   A. sin A, 则△ABC 的形状为 A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
10. 10. 设[x] 表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, 有 ( ) (B) [ x + 1 2 ] = [x] [ x + 1 2 ] = [2x] 5分
    A. [−x] = −[x] C. [2x] = 2 [x] D. [x] +

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 双曲线x2 16 −y2 9 = 1 的离心率为 . 5分
2. 2. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 俯视图 主视图 左视图 2 2 1 5分
3. 3. 观察下列等式: (1 + 1) = 2 × 1 (2 + 1) (2 + 2) = 22 × 1 × 3 (3 + 1) (3 + 2) (3 + 3) = 23 × 1 × 3 × 5 · · · · · · 照此规律, 第n 个等式可为 . 5分
4. 4. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴 影部分), 则其边长x 为 (m). x 40 m 40 m 5分
5. 5. 设a, b ∈R, |a −b| > 2, 则关于实数x 的不等式|x −a| + |x −b| > 2 的解 集是 . 5分
6. 6. 如图, AB 与CD 相交于点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交 于点P, 已知∠A = ∠C, PD = 2DA = 2, 则PE = . A E B C D P 5分
7. 7. 圆锥曲线 { x = t2, y = 2t, (t 为参数) 的焦点坐标是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = ( cos x, −1 2 ) , b = (√ 3 sin x, cos 2x ) , x ∈R, 设函数 (1) 求f (x) 的最小正周期. (2) 求f (x) 在 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 设Sn 表示数列{an} 的前n 项和. (1) 若{an} 是等差数列, 推导Sn 的计算公式; (2) 若a1 = 1, q̸ = 0, 且对所有正整数n, 有Sn = 1 −qn 1 −q , 判断{an} 是否 为等比数列, 并证明你的结论. 839
3. 3. 如图, 四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A1O ⊥平面ABCD, AB = AA1 = √ 2. (1) 证明: 平面A1BD 平面CD1B1; (2) 求三棱柱ABD −A1B1D1 的体积. A A1 O B B1 C C1 D D1
4. 4. 有7 位歌手(1 至7 号) 参加一场歌唱比赛, 由500 名大众评委现场投票决 定歌手名次. 根据年龄将大众评委分为五组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1) 为了调查评委对7 位歌手的支持情况, 现用分层抽样方法从各组中抽 取若干评委, 其中从B 组抽取了6 人, 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2) 在(1) 中, 若A, B 两组被抽到的评委中各有2 人支持1 号歌手, 现从 这两组被抽到的评委中分别任选1 人, 求这2 人都支持1 号歌手的概率.
5. 5. 已知动点M (x, y) 到直线l: x = 4 的距离是它到点N (1, 0) 的距离的2 倍. (1) 求动点M 的轨迹C 的方程; (2) 过点P (0, 3) 的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点, 若A 是PB 的中 点, 求直线m 的斜率.
6. 6. 已知函数f (x) = ex, x ∈R. (1) 求f (x) 的反函数的图象上点(1, 0) 处的切线方程; (2) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线y = 1 2x2 + x + 1 有唯一公共点; (3) 设a < b, 比较f 2 ) 与f (b) −f (a) 的大小, 并说明理由. 840

原卷配图（含真实几何/应用题图示）