2013年陕西（理科）

本卷为官方高考数学真题（2013年陕西（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 10 题）

1. 1. 设全集为R, 函数f (x) = √ 1 −x2 的定义域为M, 则∁RM 为 ( ) 5分
   A. [−1, 1] B. (−1, 1) C. (−∞, −1] ∪[1, +∞) D. (−∞, −1) ∪(1, +∞)
2. 2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60 时, 输出y 的值为 ( ) 输入x; If x ⩽50 Then y = 0.5 ∗x Else y = 25 + 0.6 ∗(x −50) End If 输出y. 5分
   A. 25 B. 30 C. 31 D. 61
3. 3. 设a, b 为向量, 则“|a · b| = |a| |b|”是“a b”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 4. 某单位有840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42 人做问卷调查, 将840 人按1, 2, · · · , 840 随机编号, 则抽取的42 人中, 编号落入区间[481, 720] 的人数为 ( ) 5分
   A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
5. 5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号 覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他 信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点 无信号的概率是 ( ) A D B C F E 2 1 4 2 −1 2 4 5分
   A. 1 −π B. π C. 2 −π D. π
6. 6. 设z1, z2 是复数, 则下列命题中的假命题是 ( ) 5分
   A. 若|z1 −z2| = 0, 则z1 = z2 B. 若z1 = z2, 则z1 = z2 C. 若|z1| = |z2|, 则z1 · z1 = z2 · z2 (D) 若|z1| = |z2|, 则z12 = z22
7. 7. 设△ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 若b cos C + c cos B = ( ) 5分
   A. sin A, 则△ABC 的形状为 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
8. 8. 设函数f (x) =      ( x −1 x )6 , x < 0, −√x, x ⩾0, 则当x > 0 时, f [f (x)] 表达式的展 开式中常数项为 ( ) 5分
   A. −20 B. 20 C. −15 D. 15
9. 9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300 m2 的内接矩 形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m) 的取值范围是 ( ) x 40 m 40 m 5分
   A. [15, 20] B. [12, 25] C. [10, 30] D. [20, 30]
10. 10. 设[x] 表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 ( ) 5分
    A. [−x] = −[x] B. [2x] = 2 [x] C. [x + y] ⩽[x] + [y] D. [x −y] ⩽[x] −[y]

填空题（每题 5 分）（共 7 题）

1. 1. 双曲线x2 16 −y2 m = 1 的离心率为5 4, 则m 等于 . 5分
2. 2. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 . 俯视图 主视图 左视图 1 1 1 2 5分
3. 3. 若点(x, y) 位于曲线y = |x −1| 与y = 2 所围成的封闭区域, 则2x −y 的 最小值为 . 5分
4. 4. 观察下列等式: 12 = 1 12 −22 = −3 12 −22 + 32 = 6 12 −22 + 32 −42 = −10 · · · · · · 照此规律, 第n 个等式可为 . 5分
5. 5. 已知a, b, m, n 均为正数, 且a + b = 1, mn = 2, 则(am + bn) (bm + an) 的最小值为 . 5分
6. 6. 如图, 弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P. 已知PD = 2DA = 2, 则PE = . A E B O C D P • 5分
7. 7. 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ 为参数, 则圆x2 + y2 −x = 0 的参数方 程为 . x y O θ P 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知向量a = ( cos x, −1 2 ) , b = (√ 3 sin x, cos 2x ) , x ∈R, 设函数 (1) 求f (x) 的最小正周期. (2) 求f (x) 在 [ 0, π 2 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 设{an} 是公比为q 的等比数列. (1) 推导{an} 的前n 项和公式; (2) 设q̸ = 1, 证明数列{an + 1} 不是等比数列. 837
3. 3. 如图, 四棱柱ABCD −A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形, O 为底面中 心, A1O ⊥平面ABCD, AB = AA1 = √ 2. (1) 证明: A1C ⊥平面BB1D1D; (2) 求平面OCB1 与平面BB1D1D 的夹角θ 的大小. A A1 O B B1 C C1 D D1
4. 4. 在一场娱乐晚会上, 有5 位民间歌手(1 至5 号) 登台演唱, 由现场数百名 观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3 名歌手, 其中观众甲是1 号歌手的歌迷, 他必选1 号, 不选2 号, 另在3 至5 号中 随机选2 名. 观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1 至5 号中 随机选3 名歌手. (1) 求观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率; (2) X 表示3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数 学期望.
5. 5. 已知动圆过定点A (4, 0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1) 求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2) 已知点B (−1, 0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点 P, Q, 若x 轴是∠PBQ 的角平分线, 证明直线l 过定点.
6. 6. 已知函数f (x) = ex, x ∈R. (1) 若直线y = kx + 1 与f (x) 的反函数的图象相切, 求实数k 的值; (2) 设x > 0, 讨论曲线y = f (x) 与曲线y = mx2 (m > 0) 公共点的个数; (3) 设a < b, 比较f (a) + f (b) 2 与f (b) −f (a) 的大小, 并说明理由. 838

原卷配图（含真实几何/应用题图示）