2014年上海（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年上海（文科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数y = 1 −2cos2 (2x) 的最小正周期是 . 5分
2. 2. 若复数z = 1 + 2i, 其中i 是虚数单位, 则 ( z + 1 z ) · z = . 5分
3. 3. 设常数a ∈R, 函数f (x) = |x −1| + |x2 −a|, 若f (2) = 1, 则 . 5分
   F. (1) =
4. 4. 若抛物线y2 = 2px 的焦点与椭圆x2 9 + y2 5 = 1 的右焦点重合, 则该抛物线 的准线方程为 . 5分
5. 5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600 名、1200 名、800 名. 为了解该校 高中学生的牙齿健康状况, 按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽出 20 名学生, 则高一、高二共抽取的学生数为 . 5分
6. 6. 若实数x, y 满足xy = 1, 则x2 + 2y2 的最小值为 . 5分
7. 7. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图, 则切割掉的两个 小长方体的体积之和等于 . 1 1 1 5 3 2 5分
8. 8. 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍, 则其母线与轴所成角的大小为 . (结果用反三角函数值表示) 5分
9. 9. 设f (x) =    (x −a)2, x ⩽0, x + 1 x + a, x > 0, 若f (0) 是f (x) 的最小值, 则a 的取值 范围为 . 5分
10. 10. 设无穷等比数列{an} 的公比为q, 若a1 = lim n→∞(a3 + a4 + · · · + an), 则 q = . 5分
11. 11. 若f (x) = x 2 3 −x−1 2 , 则满足f (x) < 0 的x 的取值范围是 . 5分
12. 12. 方程sin x + √ 3 cos x = 1 在区间[0, 2π] 上的所有解的和等于 . 5分
13. 13. 为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急 疏散演练, 则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是 . (结果用最简分 数表示) 5分
14. 14. 已知曲线C: x = − √ 4 −y2, 直线l: x = 6. 若对于点A (m, 0), 存在C 上 的点P 和l 上的Q 使得# » AP + # » AQ = #»0 , 则m 的取值范围为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设a, b ∈R, 则“a + b > 4”是“a > 2 且b > 2”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 已知互异的复数a, b 满足ab̸ = 0, 集合{a, b} = {a2, b2}, 则a + b = ( ) 5分
   A. 2 B. 1 C. 0 D. −1
3. 3. 如图, 四个边长为1 的小正方形排成一个大正方形, AB 是大正方形的一 边, Pi (i = 1, 2, · · · , 7) 是小正方形的其余顶点, 则# » AB · # » APi (i = 1, 2, · · · , 7) 的不同值的个数为 ( ) A B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 • • • • • • • • • 5分
   A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
4. 4. 已知P1 (a1, b1) 与P2 (a2, b2) 是直线y = kx + 1 (k 为常数) 上两个不同的 点, 则关于x 和y 的方程组 { a1x + b1y = 1, a2x + b2y = 1 的解的情况是 ( ) 5分
   A. 无论k, P1, P2 如何, 总是无解 B. 无论k, P1, P2 如何, 总有唯一解 C. 存在k, P1, P2, 使之恰有两解 D. 存在k, P1, P2, 使之有无穷多解

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 底面边长为2 的正三棱锥P −ABC, 其表面展开图是三角形P1P2P3, 如 图, 求△P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积V . A B C P1 P2 P3
2. 2. 设常数a ⩾0, 函数f (x) = 2x + a 2x −a. (1) 若a = 4, 求函数y = f (x) 的反函数y = f −1 (x); (2) 根据a 的不同取值, 讨论函数y = f (x) 的奇偶性, 并说明理由. 917
3. 3. 如图, 某公司要在A、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD, 其中D 为顶端, AC 长35 米, CB 长80 米. 设点A、B 在同一水平面上, 从A 和 (1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求α ⩾2β, 问CD 的长至多为多少(结 果精确到0.01 米)? (2) 施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得α = 38.12◦, β = 18.45◦, 求CD 的长(结果精确到0.01 米). A B C α β D
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 对于直线l: ax + by + c = 0 和点P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), 记η = (ax1 + by1 + c) (ax2 + by2 + c). 若η < 0, 则称点P1, P2 被直线l 分隔. 若曲线C 与直线l 没有公共点, 且曲线C 上存在点P1, P2 被直线l 分隔, 则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证: 点A (1, 2), B (−1, 0) 被直线x + y −1 = 0 分隔; (2) 若直线y = kx 是曲线x2 −4y2 = 1 的分隔线, 求实数k 的取值范围; (3) 动点M 到点Q (0, 2) 的距离与到y 轴的距离之积为1, 设点M 的轨 迹为E. 求E 的方程, 并证明y 轴为曲线E 的分隔线.
5. 5. 已知数列{an} 满足1 3an ⩽an+1 ⩽3an, n ∈N∗, a1 = 1. (1) 若a2 = 2, a3 = x, a4 = 9, 求x 的取值范围; (2) 若{an} 是等比数列, 且am = 1 1000, 求正整数m 的最小值, 以及m 取 最小值时相应{an} 的公比; (3) 若a1, a2, · · · , a100 成等差数列, 求a1, a2, · · · , a100 的公差的取值范围. 918

原卷配图（含真实几何/应用题图示）