2014年上海（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年上海（理科）），共 23 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

填空题（每题 5 分）（共 14 题）

1. 1. 函数y = 1 −2cos2 (2x) 的最小正周期是 . 5分
2. 2. 若复数z = 1 + 2i, 其中i 是虚数单位, 则 ( z + 1 z ) · z = . 5分
3. 3. 若抛物线y2 = 2px 的焦点与椭圆x2 9 + y2 5 = 1 的右焦点重合, 则该抛物线 的准线方程为 . 5分
4. 4. 设f (x) = { x, x ∈(−∞, a) , x2, x ∈[a, +∞) , 若f (2) = 4, 则a 的取值范围为 . 5分
5. 5. 若实数x, y 满足xy = 1, 则x2 + 2y2 的最小值为 . 5分
6. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍, 则其母线与底面夹角的大小为 . (结果用反三角函数值表示) 5分
7. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为ρ (3 cos θ −4 sin θ) = 1, 则C 与极轴的交点 到极点的距离是 . 5分
8. 8. 设无穷等比数列{an} 的公比为q, 若a1 = lim n→∞(a3 + a4 + · · · + an), 则 q = . 5分
9. 9. 若f (x) = x 2 3 −x−1 2 , 则满足f (x) < 0 的x 的取值范围是 . 5分
10. 10. 为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急 疏散演练, 则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是 . (结果用最简分 数表示) 5分
11. 11. 已知互异的复数a, b 满足ab̸ = 0, 集合{a, b} = {a2, b2}, 则a + . 5分
    B. =
12. 12. 设常数a 使方程sin x + √ 3 cos x = a 在闭区间[0, 2π] 上恰有三个解x1, x2, x3, 则x1 + x2 + x3 = . 5分
13. 13. 某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ 表示小白玩该游戏的得分. 若 . 5分
    E. (ξ) = 4.2, 则小白得5 分的概率至少为
14. 14. 已知曲线C: x = − √ 4 −y2, 直线l: x = 6. 若对于点A (m, 0), 存在C 上 的点P 和l 上的Q 使得# » AP + # » AQ = #»0 , 则m 的取值范围为 . 5分

选择题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. 设a, b ∈R, 则“a + b > 4”是“a > 2 且b > 2”的 ( ) 5分
   A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 2. 如图, 四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, Pi (i = 1, 2, · · · , 8) 是上底面上其余的八个点, 则# » AB · # » APi (i = 1, 2, · · · , 8) 的不同值的个数为 ( ) A B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 5分
   A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3. 3. 已知P1 (a1, b1) 与P2 (a2, b2) 是直线y = kx + 1 (k 为常数) 上两个不同的 点, 则关于x 和y 的方程组 { a1x + b1y = 1, a2x + b2y = 1 的解的情况是 ( ) 5分
   A. 无论k, P1, P2 如何, 总是无解 B. 无论k, P1, P2 如何, 总有唯一解 C. 存在k, P1, P2, 使之恰有两解 D. 存在k, P1, P2, 使之有无穷多解
4. 4. 设f (x) =    (x −a)2, x ⩽0, x + 1 x + a, x > 0, 若f (0) 是f (x) 的最小值, 则a 的取值 范围为 ( ) 5分
   A. [−1, 2] B. [−1, 0] C. [1, 2] D. [0, 2]

解答题（分值见原卷）（共 5 题）

1. 1. 底面边长为2 的正三棱锥P −ABC, 其表面展开图是三角形P1P2P3, 如 图, 求△P1P2P3 的各边长及此三棱锥的体积V . A B C P1 P2 P3
2. 2. 设常数a ⩾0, 函数f (x) = 2x + a 2x −a. (1) 若a = 4, 求函数y = f (x) 的反函数y = f −1 (x); (2) 根据a 的不同取值, 讨论函数y = f (x) 的奇偶性, 并说明理由. 915
3. 3. 如图, 某公司要在A、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD, 其中D 为顶端, AC 长35 米, CB 长80 米. 设点A、B 在同一水平面上, 从A 和 (1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求α ⩾2β, 问CD 的长至多为多少(结 果精确到0.01 米)? (2) 施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差. 现在实测得α = 38.12◦, β = 18.45◦, 求CD 的长(结果精确到0.01 米). A B C α β D
4. 4. 在平面直角坐标系xOy 中, 对于直线l: ax + by + c = 0 和点P1 (x1, y1), P2 (x2, y2), 记η = (ax1 + by1 + c) (ax2 + by2 + c). 若η < 0, 则称点P1, P2 被直线l 分隔. 若曲线C 与直线l 没有公共点, 且曲线C 上存在点P1, P2 被直线l 分隔, 则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证: 点A (1, 2), B (−1, 0) 被直线x + y −1 = 0 分隔; (2) 若直线y = kx 是曲线x2 −4y2 = 1 的分隔线, 求实数k 的取值范围; (3) 动点M 到点Q (0, 2) 的距离与到y 轴的距离之积为1, 设点M 的轨 迹为E, 求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E 的分割线.
5. 5. 已知数列{an} 满足1 3an ⩽an+1 ⩽3an, n ∈N∗, a1 = 1. (1) 若a2 = 2, a3 = x, a4 = 9, 求x 的取值范围; (2) 设{an} 是公比为q 的等比数列, Sn = a1 + a2 + · · · + an. 若 1 3Sn ⩽Sn+1 ⩽3Sn, n ∈N∗, 求q 的取值范围; (3) 若a1, a2, · · · , ak 成等差数列, 且a1 + a2 + · · · + ak = 1000, 求正整数 k 的最大值, 以及k 取最大值时相应数列a1, a2, · · · , ak 的公差. 916

原卷配图（含真实几何/应用题图示）