2014年北京（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年北京（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 若集合A = {0, 1, 2, 4}, B = {1, 2, 3}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0, 1, 2, 3, 4} B. {0, 4} C. {1, 2} D. {3}
2. 2. 下列函数中, 定义域是R 且为增函数的是 ( ) 5分
   A. y = e−x B. y = x3 C. y = ln x D. y = |x|
3. 3. 已知向量a = (2, 4), b = (−1, 1), 则2a −b = ( ) 5分
   A. (5, 7) B. (5, 9) C. (3, 7) D. (3, 9)
4. 4. 执行如图所示的程序框图, 则输出的S 值为 ( ) 开始 k = 0, S = 0 k < 3 S = S + 2k k = k + 1 输出S 结束 是 否 5分
   A. 1 B. 3 C. 7 D. 15
5. 5. 设a, b 是实数, 则“a > b”是“a2 > b2”的 ( ) 5分
   A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 已知函数f (x) = 6 x −log2x, 在下列区间中, 包含f (x) 零点的区间是( ) 5分
   A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, +∞)
7. 7. 已知圆C: (x −3)2 + (y −4)2 = 1 和两点A (−m, 0), B (m, 0) (m > 0), 若 圆C 上存在点P, 使得∠APB = 90◦, 则m 的最大值为 ( ) 5分
   A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8. 8. 加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件 下, 可食用率p 与加工时间t (单位: 分钟) 满足函数关系p = at2 + bt + c (a, b, c 是常数), 下图记录了三次实验的数据. 根据上述函数模型和实验数 据, 可以得到最佳加工时间为 ( ) t 5 4 3 p O 0.5 0.7 0.8 • • • 5分
   A. 3.50 分钟 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 D. 4.25 分钟

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 若(x + i) i = −1 + 2i (x ∈R), 则x = . 5分
2. 2. 设双曲线C 的两个焦点为 ( − √ 2, 0 ) , (√ 2, 0 ) , 一个顶点是(1, 0), 则C 的 方程为 . 5分
3. 3. 某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的最长棱的棱长为 . 1 1 1 2 2 正(主) 视图 俯视图 侧(左) 视图 5分
4. 4. 在△ABC 中, a = 1, b = 2, cos C = 1 4, 则c = ; sin A = . 5分
5. 5. 若x, y 满足        y ⩽1, x −y −1 ⩽0, x + y −1 ⩾0, 则z = √ 3x + y 的最小值为 . 5分
6. 6. 顾客请一位工艺师把A, B 两件玉石原料各制成一件工艺品, 工艺师带一 位徒弟完成这项任务, 每件原料先由徒弟完成粗加工, 再由工艺师进行精 加工完成制作, 两件工艺品都完成后交付顾客, 两件原料每道工序所需时 间(单位: 工作日) 如下: 原料 时间 工序 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21 则最短交货期为 个工作日. 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知{an} 是等差数列, 满足a1 = 3, a4 = 12, 数列{bn} 满足b1 = 4, b4 = 20, 且{bn −an} 是等比数列. (1) 求数列{an} 和{bn} 的通项公式; (2) 求数列{bn} 的前n 项和.
2. 2. 函数f (x) = 3 sin ( 2x + π 6 ) 的部分图象如图所示. (1) 写出f (x) 的最小正周期及图中x0, y0 的值; (2) 求f (x) 在区间 [ −π 2 , −π 12 ] 上的最大值和最小值. x x0 y O y0
3. 3. 如图, 在三棱柱ABC −A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, AB ⊥BC, AA1 = AC = 2, BC = 1, E, F 分别为A1C1, BC 的中点. (1) 求证: 平面ABE ⊥平面B1BCC1; (2) 求证: C1F 平面ABE; (3) 求三棱锥E −ABC 的体积. A B C E A1 B1 C1 F 863
4. 4. 从某校随机抽取100 名学生, 获得了他们一周课外阅读时间(单位: 小时) 的数据, 整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 频率 组距 0 阅读时间 a 组号 分组 频数 1 [0, 2) 6 2 [2, 4) 8 3 [4, 6) 17 4 [6, 8) 22 5 [8, 10) 25 6 [10, 12) 12 7 [12, 14) 6 8 [14, 16) 2 9 [16, 18) 2 合计 100 b 2 4 6 8 10 12 14 16 18 (1) 从该校随机选取一名学生, 试估计这名学生该周课外阅读时间少于12 小时的概率; (2) 求频率分布直方图中的a, b 的值; (3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 试估计样本中 的100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组. (只需写出结论)
5. 5. 已知椭圆C: x2 + 2y2 = 4. (1) 求椭圆C 的离心率; (2) 设O 为原点, 若点A 在直线y = 2 上, 点B 在椭圆C 上, 且OA ⊥OB, 求线段AB 长度的最小值.
6. 6. 已知函数f (x) = 2x3 −3x. (1) 求f (x) 在区间[−2, 1] 上的最大值; (2) 若过点P (1, t) 存在3 条直线与曲线y = f (x) 相切, 求t 的取值范围; (3) 问过点A (−1, 2), B (2, 10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线y = f (x) 相切? (只需写出结论) 864

原卷配图（含真实几何/应用题图示）