2014年北京（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年北京（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. 已知集合A = {x | x2 −2x = 0}, B = {0, 1, 2}, 则A ∩B = ( ) 5分
   A. {0} B. {0, 1} C. {0, 2} D. {0, 1, 2}
2. 2. 下列函数中, 在区间(0, +∞) 上为增函数的是 ( ) 5分
   A. y = √x + 1 B. y = (x −1)2 C. y = 2−x D. y = log0.5 (x + 1)
3. 3. 曲线 { x = −1 + cos θ, y = 2 + sin θ, (θ 为参数) 的对称中心 ( ) 5分
   A. 在直线y = 2x 上 B. 在直线y = −2x 上 C. 在直线y = x −1 上 D. 在直线y = x + 1 上
4. 4. 当m = 7, n = 3 时, 执行如图所示的程序框图, 输出的S 值为 ( ) 开始 输入m, n 的值 k = m, S = 1 k < m −n + 1 S = S · k k = k −1 输出S 结束 否 是 5分
   A. 7 B. 42 C. 210 D. 840
5. 5. 设{an} 是公比为q 的等比数列, 则“q > 1”是“{an} 为递增数列”的 ( ) 5分
   A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 6. 若x, y 满足        x + y −2 ⩾0, kx −y + 2 ⩾0, y ⩾0, 且z = y −x 的最小值为−4, 则k 的值 为 ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
7. 7. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 已知A (2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0), D ( 1, 1, √ 2 ) , 若S1, S2, S3 分别表示三棱锥D −ABC 在xOy, yOz, zOx 坐标平面上的正投影图形的面积, 则 ( ) 5分
   A. S1 = S2 = S3 B. S1 = S2 且S3̸ = S1 C. S1 = S3 且S3̸ = S2 D. S2 = S3 且S1̸ = S3
8. 8. 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级, 依次为“优秀”“合格”“不合格”. 若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙, 且其中至少有一门成绩高于 乙, 则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位 学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生, 则这 一组学生最多有 ( ) 5分
   A. 2 人 B. 3 人 C. 4 人 D. 5 人

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 复数 (1 + i 1 −i )2 = . 5分
2. 2. 已知向量a, b 满足|a| = 1, b = (2, 1), 且λa + b = 0 (λ ∈R), 则 |λ| = . 5分
3. 3. 设双曲线C 经过点(2, 2), 且与y2 4 −x2 = 1 具有相同渐近线, 则C 的方 程为 ; 渐近线方程为 . 5分
4. 4. 若等差数列{an} 满足a7 + a8 + a9 > 0, a7 + a10 < 0, 则当n = 时, {an} 的前n 项和最大. 5分
5. 5. 把5 件不同产品摆成一排, 若产品A 与产品B 相邻, 且产品A 与产品C 不相邻, 则不同的摆法有 种. 5分
6. 6. 设函数f (x) = A sin (ωx + φ) (A, ω, φ 是常数, A > 0, ω > 0). 若f (x) 在区间 [π 6 , π 2 ] 上具有单调性, 且f (π 2 ) = f (2π 3 ) = −f (π 6 ) , 则f (x) 的最小正周期为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 如图, 在△ABC 中, ∠B = π 3 , AB = 8, 点D 在BC 上, 且CD = 2, cos ∠ADC = 1 7. (1) 求sin ∠BAD; (2) 求BD, AC 的长. A B C D
2. 2. 李明在10 场篮球比赛中的投篮情况(假设各场比赛相互独立): 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1 22 12 客场1 18 8 主场2 15 12 客场2 13 12 主场3 12 8 客场3 21 7 主场4 23 8 客场4 18 15 主场5 24 20 客场5 25 12 (1) 从上述比赛随机选择一场, 求李明在该场比赛中的投篮命中率超过0.6 的概率; (2) 从上述比赛中随机选择一个主场和客场, 求李明的投篮命中率一场超 过0.6, 一场不超过0.6 的概率; (3) 记x 是表中10 个命中次数的平均数, 从上述比赛中随机选择一场, 记 X 为李明在这场比赛中命中次数, 比较E (X) 与x 的大小. (只需要写出 结论)
3. 3. 如图, 正方形AMDE 的边长为2, B, C 分别为AM, MD 的中点, 在五棱 锥P −ABCDE 中, F 为棱PE 的中点, 平面ABF 与棱PD, PC 分别 交于点G, H. (1) 求证: AB FG; (2) 若PA ⊥平面ABCDE, 且PA = AE, 求直线BC 与平面ABF 所 成角的大小, 并求线段PH 的长. A B C D P M E F G H 861
4. 4. 已知函数f (x) = x cos x −sin x, x ∈ [ 0, π 2 ] . (1) 求证: f (x) ⩽0; (2) 若a < sin x x < b 在 ( 0, π 2 ) 上恒成立, 求a 的最大值与b 的最小值.
5. 5. 已知椭圆C: x2 + 2y2 = 4. (1) 求椭圆C 的离心率; (2) 设O 为坐标原点, 若点A 在椭圆C 上, 点B 在直线y = 2 上, 且 OA ⊥OB, 试判断直线AB 与圆x2+y2 = 2 的位置关系, 并证明你的结论.
6. 6. 对于数对序列P: (a1, b1), (a2, b2), · · · , (an, bn), 记T1 (P) = a1 + b1, Tk (P) = bk + max {Tk−1 (P) , a1 + a2 + · · · + ak} (2 ⩽k ⩽n), 其中 max {Tk−1 (P) , a1 + a2 + · · · + ak} 表示Tk−1 (P) 和a1 + a2 + · · · + ak 两个数中最大的数. (1) 对于数对序列P: (2, 5), (4, 1), 求T1 (P), T2 (P) 的值; (2) 记m 为a, b, c, d 四个数中最小值, 对于由两个数对(a, b), (c, d) 组成 的数对序列P: (a, b), (c, d) 和P ′: (c, d), (a, b), 试分别对m = a 和m = d 时两种情况比较T2 (P) 和T2 (P ′) 的大小; (3) 在由5 个数对(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6) 组成的所有数对 序列中, 写出一个数对序列P 使T5 (P) 最小, 并写出T5 (P) 的值. (只需 写出结论) 862

原卷配图（含真实几何/应用题图示）