2014年四川（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年四川（理科）），共 4 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

解答题（分值见原卷）（共 4 题）

1. 1. 三棱锥A −BCD 及其侧视图、俯视图如图所示. 设M, N 分别为线段 AD, AB 的中点, P 为线段BC 上的点, 且MN ⊥NP. (1) 证明: P 为线段BC 的中点; (2) 求二面角A −NP −M 的余弦值. A D B P C M N 侧视图 1 1 2 2 俯视图 1 1 2 2
2. 2. 设等差数列{an} 的公差为d, 点(an, bn) 在函数f (x) = 2x 的图象上 (n ∈N∗). (1) 若a1 = −2, 点(a8, 4b7) 在函数f (x) 的图象上, 求数列{an} 的前n 项和Sn; (2) 若a1 = 1, 函数f (x) 的图象在点(a2, b2) 处的切线在x 轴上的截距为 2 − 1 ln 2, 求数列 {an bn } 的前n 项和Tn.
3. 3. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的焦距为4, 其短轴的两个端点与 长轴的一个端点构成正三角形. (1) 求椭圆C 的标准方程; (2) 设F 为椭圆C 的左焦点, T 为直线x = −3 上任意一点, 过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P, Q. ①证明: OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点); ②当|TF| |PQ| 最小时, 求点T 的坐标.
4. 4. 已知函数f (x) = ex −ax2 −bx −1, 其中a, b ∈R, e = 2.71828 · · · 为自 然对数的底数. (1) 设g (x) 是函数f (x) 的导函数, 求函数g (x) 在区间[0, 1] 上的最小值; (2) 若f (1) = 0, 函数f (x) 在区间(0, 1) 内有零点, 求a 的取值范围. 920

原卷配图（含真实几何/应用题图示）