2014年大纲（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年大纲（文科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设集合M = {1, 2, 4, 6, 8}, N = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, 则M ∩N 中元素 的个数为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
2. 2. 已知角α 的终边经过点(−4, 3), 则cos α = ( ) 5 5 5 5 5分
   A. 4 B. 3 C. −3 D. −4
3. 3. 不等式组 { x (x + 2) > 0, |x| < 1 的解集为 ( ) 5分
   A. {x | −2 < x < −1} B. {x | −1 < x < 0} C. {x | 0 < x < 1} D. {x | x > 1}
4. 4. 已知正四面体ABCD 中, E 是AB 的中点, 则异面直线CE 与BD 所成 角的余弦值为 ( ) 6 (B) √ 3 6 3 (D) √ 3 3 5分
   A. 1 C. 1
5. 5. 函数y = ln ( 3√x + 1) (x > −1) 的反函数是 ( ) 5分
   A. y = (1 −ex)3 (x > −1) B. y = (ex −1)3 (x > −1) C. y = (1 −ex)3 (x ∈R) D. y = (ex −1)3 (x ∈R)
6. 6. 已知a、b 为单位向量, 其夹角为60◦, 则(2a −b) · b = ( ) 5分
   A. −1 B. 0 C. 1 D. 2
7. 7. 有6 名男医生、5 名女医生, 从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个 医疗小组, 则不同的选法共有 ( ) 5分
   A. 60 种 B. 70 种 C. 75 种 D. 150 种
8. 8. 设等比数列{an} 的前n 项和为Sn, 若S2 = 3, S4 = 15, 则S6 = ( ) 5分
   A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
9. 9. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心 率为 √ 3 3 , 过F2 的直线l 交C 于A、B 两点, 若△AF1B 的周长为4 √ 3, 则C 的方程为 ( ) 3 + y2 2 = 1 (B) x2 3 + y2 = 1 12 + y2 8 = 1 12 + y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
10. 10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4, 底面边长为2, 则该 球的表面积为 ( ) 4 4 5分
    A. 81π B. 16π C. 9π D. 27π
11. 11. 双曲线C: x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为2, 焦点到渐近线的距 离为 √ 3, 则C 的焦距等于 ( ) √ 2 √ 2 5分
    A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
12. 12. 奇函数f (x) 的定义域为R, 若f (x + 2) 为偶函数, f (1) = 1, 则 ( ) 5分
    F. (8) + f (9) = A. −2 B. −1 C. 0 D. 1

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. (x −2)6 的展开式中x3 的系数为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 函数y = cos 2x + 2 sin x 的最大值为 . 5分
3. 3. 设x、y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + 2y ⩽3, x −2y ⩽1, 则z = x + 4y 的最大值为 . 5分
4. 4. 直线l1 和l2 是圆x2 + y2 = 2 的两条切线, 若l1 与l2 的交点为(1, 3), 则 l1 与l2 的夹角的正切值等于 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 数列{an} 满足a1 = 1, a2 = 2, an+2 = 2an+1 −an + 2. (1) 设bn = an+1 −an, 证明{bn} 是等差数列; (2) 求数列{an} 的通项公式.
2. 2. △ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知3a cos C = 2c cos A, tan A = 1 3, 求B.
3. 3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上, ∠ACB = 90◦, BC = 1, AC = CC1 = 2. (1) 证明: AC1 ⊥A1B; (2) 设直线AA1 与平面BCC1B1 的距离为 √ 3, 求二面角A1 −AB −C 的 大小. A B C D A1 B1 C1 871
4. 4. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、 0.5、0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1) 求同一工作日至少3 人需使用设备的概率; (2) 实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用, 若要求“同一工作日 需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1, 求k 的最小值.
5. 5. 函数f (x) = ax3 + 3x2 + 3x (a̸ = 0). (1) 讨论函数f (x) 的单调性; (2) 若函数f (x) 在区间(1, 2) 是增函数, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 直线y = 4 与y 轴的交点 为P, 与C 的交点为Q, 且|QF| = 5 4|PQ|. (1) 求C 的方程; (2) 过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点, 若AB 的垂直平分线l′ 与C 相交于M、N 两点, 且A、M、B、N 四点在同一圆上, 求l 的方程. 872

原卷配图（含真实几何/应用题图示）