2014年大纲（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年大纲（理科）），共 22 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 12 题）

1. 1. 设z = 10i 3 + i, 则z 的共轭复数为 ( ) 5分
   A. −1 + 3i B. −1 −3i C. 1 + 3i D. 1 −3i
2. 2. 设集合M = {x | x2 −3x −4 < 0}, N = {x | 0 ⩽x ⩽5}, 则M ∩N =( ) 5分
   A. (0, 4] B. [0, 4) C. [−1, 0) D. (−1, 0]
3. 3. 设a = sin 33◦, b = cos 55◦, c = tan 35◦, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. b > c > a C. c > b > a D. c > a > b
4. 4. 若向量a、b 满足: |a| = 1, (a + b) ⊥a, (2a + b) ⊥b, 则|b| = ( ) (B) √ 2 (D) √ 2 2 5分
   A. 2 C. 1
5. 5. 有6 名男医生、5 名女医生, 从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个 医疗小组, 则不同的选法共有 ( ) 5分
   A. 60 种 B. 70 种 C. 75 种 D. 150 种
6. 6. 已知椭圆C: x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1、F2, 离心 率为 √ 3 3 , 过F2 的直线l 交C 于A、B 两点, 若△AF1B 的周长为4 √ 3, 则C 的方程为 ( ) 3 + y2 2 = 1 (B) x2 3 + y2 = 1 12 + y2 8 = 1 12 + y2 4 = 1 5分
   A. x2 C. x2 D. x2
7. 7. 曲线y = xex−1 在点(1, 1) 处切线的斜率等于 ( ) 5分
   A. 2e B. e C. 2 D. 1
8. 8. 正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4, 底面边长为2, 则该 球的表面积为 ( ) 4 4 5分
   A. 81π B. 16π C. 9π D. 27π
9. 9. 已知双曲线C 的离心率为2, 焦点为F1、F2, 点A 在C 上, 若|F1A| = 2 |F2A|, 则cos ∠AF2F1 = ( ) 4 3 (C) √ 2 4 (D) √ 2 3 5分
   A. 1 B. 1
10. 10. 等比数列{an} 中, a4 = 2, a5 = 5, 则数列{lg an} 的前8 项和等于 ( ) 5分
    A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
11. 11. 已知二面角α −l −β 为60◦, AB ⊂α, AB ⊥l, A 为垂足, CD ⊂β, C ∈l, ∠ACD = 135◦, 则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ( ) 4 (B) √ 2 4 (C) √ 3 4 2 5分
    A. 1 D. 1
12. 12. 函数y = f (x) 的图象与函数y = g (x) 的图象关于直线x + y = 0 对称, 则y = f (x) 的反函数是 ( ) 5分
    A. y = g (x) B. y = g (−x) C. y = −g (x) D. y = −g (−x)

填空题（每题 5 分）（共 4 题）

1. 1. ( x √y −y √x )8 的展开式中x2y2 的系数为 . (用数字作答) 5分
2. 2. 设x、y 满足约束条件        x −y ⩾0, x + 2y ⩽3, x −2y ⩽1, 则z = x + 4y 的最大值为 . 5分
3. 3. 直线l1 和l2 是圆x2 + y2 = 2 的两条切线, 若l1 与l2 的交点为(1, 3), 则 l1 与l2 的夹角的正切值等于 . 5分
4. 4. 若函数f (x) = cos 2x + a sin x 在区间 (π 6 , π 2 ) 上是减函数, 则a 的取值范 围是 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. △ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知3a cos C = 2c cos A, tan A = 1 3, 求B.
2. 2. 等差数列{an} 的前n 项和为Sn, 已知a1 = 10, a2 为整数, 且Sn ⩽S4. (1) 求{an} 的通项公式; (2) 设bn = 1 anan+1 , 求数列{bn} 的前n 项和Tn.
3. 3. 如图, 三棱柱ABC −A1B1C1 中, 点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上, ∠ACB = 90◦, BC = 1, AC = CC1 = 2. (1) 证明: AC1 ⊥A1B; (2) 设直线AA1 与平面BCC1B1 的距离为 √ 3, 求二面角A1 −AB −C 的 大小. A B C D A1 B1 C1 869
4. 4. 设每个工作日甲、乙、丙、丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、 0.5、0.4, 各人是否需使用设备相互独立. (1) 求同一工作日至少3 人需使用设备的概率; (2) X 表示同一工作日需使用设备的人数, 求X 的数学期望.
5. 5. 已知抛物线C: y2 = 2px (p > 0) 的焦点为F, 直线y = 4 与y 轴的交点 为P, 与C 的交点为Q, 且|QF| = 5 4|PQ|. (1) 求C 的方程; (2) 过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点, 若AB 的垂直平分线l′ 与C 相交于M、N 两点, 且A、M、B、N 四点在同一圆上, 求l 的方程.
6. 6. 函数f (x) = ln (x + 1) − ax x + a (a > 1). (1) 讨论f (x) 的单调性; (2) 设a1 = 1, an+1 = ln (an + 1), 证明: 2 n+2 < an ⩽ 3 n + 2. 870

原卷配图（含真实几何/应用题图示）