2014年天津（文科）

本卷为官方高考数学真题（2014年天津（文科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数7 + i 3 + 4i = ( ) 25 + 31 25i 7 + 25 7 i 5分
   A. 1 −i B. −1 + i C. 17 D. −17
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + y −2 ⩾0, x −y −2 ⩽0, y ⩾1, 则目标函数z = x + 2y 的最 小值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 3. 已知命题p: ∀x > 0, 总有(x + 1) ex > 1, 则¬p 为 ( ) 5分
   A. ∃x0 ⩽0, 使得(x0 + 1) ex0 ⩽1 B. ∃x0 > 0, 使得(x0 + 1) ex0 ⩽1 C. ∀x > 0, 总有(x + 1) ex ⩽1 D. ∀x ⩽0, 总有(x + 1) ex ⩽1
4. 4. 设a = log2π, b = log 1 2 π, c = π−2, 则 ( ) 5分
   A. a > b > c B. b > a > c C. a > c > b D. c > b > a
5. 5. 设{an} 是首项为a1, 公差为−1 的等差数列, Sn 为其前n 项和, 若S1, S2, S4 成等比数列, 则a1 = ( ) 2 2 5分
   A. 2 B. −2 C. 1 D. −1
6. 6. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线l : y = 2x + 10, 双曲线的一个焦点在直线l 上, 则双曲线的方程为 ( ) 5 −y2 20 = 1 20 −y2 5 = 1 25 −3y2 100 = 1 100 −3y2 25 = 1 5分
   A. x2 B. x2 C. 3x2 D. 3x2
7. 7. 如图, △ABC 是圆的内接三角形, ∠BAC 的平分线交圆于点D, 交BC 于 E, 过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F, 在上述条件下, 给出下列 四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2 = FD·FA; ③AE·CE = BE·DE; ④AF · BD = AB · BF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A D F B E C 5分
   A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
8. 8. 已知函数f (x) = √ 3 sin ωx + cos ωx (ω > 0), x ∈R. 在曲线y = f (x) 与 直线y = 1 的交点中, 若相邻交点距离的最小值为π 3 , 则f (x) 的最小正周 期为 ( ) 2 3 5分
   A. π B. 2π C. π D. 2π

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽 样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行 调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6, 则应从一年级本科生中抽取 名学生. 5分
2. 2. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积 为 m3. 2 4 2 4 2 4 正视图 俯视图 侧视图 5分
3. 3. 阅读如图的框图, 运行相应的程序, 输出S 的值为 . 开始 S = 0, n = 3 S = S + (−2)n n = n −1 n ⩽1? 输出S 结束 是 否 5分
4. 4. 函数f (x) = lg x2 的单调递减区间是 . 5分
5. 5. 已知菱形ABCD 的边长为2, ∠BAD = 120◦, 点E, F 分别在边BC, DC 上, BC = 3BE, DC = λDF. 若# » AE · # » AF = 1, 则λ 的值为 . 5分
6. 6. 已知函数f (x) = { x2 + 5x + 4  , x ⩽0, 2 |x −2| , x > 0, 若函数y = f (x) −a |x| 恰有 4 个零点, 则实数a 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 某校夏令营有3 名男同学A, B, C 和3 名女同学X, Y , Z, 其年级情况如 下表: 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6 名同学中随机选出2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相 同). (1) 用表中字母列举出所有可能的结果; (2) 设M 为事件“选出的2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和1 名女同 学”, 求事件M 发生的概率.
2. 2. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知a −c = √ 6 6 b, sin B = √ 6 sin C. (1) 求cos A 的值; (2) 求cos ( 2A −π 6 ) 的值. 925
3. 3. 如图, 四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形, BA = BD = √ 2, AD = 2, PA = PD = √ 5, E, F 分别是棱AD, PC 的中点. (1) 证明: EF 平面PAB; (2) 若二面角P −AD −B 为60◦, ①证明: 平面PBC ⊥平面ABCD; ②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值. A B C D E P F
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 右顶点为A, 上顶点为B, 已知|AB| = √ 3 2 |F1F2|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段PB 为直径的圆经过点F1, 经过点F2 的直线l 与该圆相切与点M, |MF2| = 2 √ 2. 求椭圆的方程.
5. 5. 已知函数f (x) = x2 −2 3ax3 (a > 0), x ∈R. (1) 求f (x) 的单调区间和极值; (2) 若对于任意的x1 ∈(2, +∞), 都存在x2 ∈(1, +∞), 使得f (x1)·f (x2) = 1, 求a 的取值范围.
6. 6. 已知q 和n 均为给定的大于1 的自然数. 设集合M = {0, 1, 2, · · · , q−1}, 集合A = {x | x = x1 + x2q + · · · + xnqn−1, xi ∈M, i = 1, 2, · · · , n}. (1) 当q = 2, n = 3 时, 用列举法表示集合A; (2) 设s, t ∈A, s = a1 + a2q + · · · + anqn−1, t = b1 + b2q + · · · + bnqn−1, 其中ai, bi ∈M, i = 1, 2, · · · , n. 证明: 若an < bn, 则s < t. 926

原卷配图（含真实几何/应用题图示）