2014年天津（理科）

本卷为官方高考数学真题（2014年天津（理科）），共 20 题，含选择题 / 填空题 / 解答题，附「原卷配图」含真实几何与应用题图示。题目均为真题，未作任何虚构；答案与解析以官方答案册为准。

选择题（每题 5 分）（共 8 题）

1. 1. i 是虚数单位, 复数7 + i 3 + 4i = ( ) 25 + 31 25i 7 + 25 7 i 5分
   A. 1 −i B. −1 + i C. 17 D. −17
2. 2. 设变量x, y 满足约束条件        x + y −2 ⩾0, x −y −2 ⩽0, y ⩾1, 则目标函数z = x + 2y 的最 小值为 ( ) 5分
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 3. 阅读下面的程序框图, 运行相应的程序, 输出的S 的值为 ( ) 开始 S = 1, i = 1 T = 2i + 1 S = S × T i = i + 1 i ⩾4? 输出S 结束 是 否 5分
   A. 15 B. 105 C. 245 D. 945
4. 4. 函数f (x) = log 1 2 (x2 −4) 的单调递增区间是 ( ) 5分
   A. (0, +∞) B. (−∞, 0) C. (2, +∞) D. (−∞, −2)
5. 5. 已知双曲线x2 a2 −y2 b2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线l : y = 2x + 10, 双曲线的一个焦点在直线l 上, 则双曲线的方程为 ( ) 5 −y2 20 = 1 20 −y2 5 = 1 25 −3y2 100 = 1 100 −3y2 25 = 1 5分
   A. x2 B. x2 C. 3x2 D. 3x2
6. 6. 如图, △ABC 是圆的内接三角形, ∠BAC 的平分线交圆于点D, 交BC 于 E, 过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F, 在上述条件下, 给出下列 四个结论: ①BD 平分∠CBF; ②FB2 = FD·FA; ③AE·CE = BE·DE; ④AF · BD = AB · BF. 则所有正确结论的序号是 ( ) A D F B E C 5分
   A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
7. 7. 设a, b ∈R, 则“a > b”是“a |a| > b |b|”的 ( ) 5分
   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 8. 已知菱形ABCD 的边长为2, ∠BAD = 120◦, 点E, F 分别在边BC, DC 上, BE = λBC, DF = µDC, 若# » AE · # » AF = 1, # » CE · # » CF = −2 3, 则 λ + µ = ( ) 2 3 6 12 5分
   A. 1 B. 2 C. 5 D. 7

填空题（每题 5 分）（共 6 题）

1. 1. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽 样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行 调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4 : 5 : 5 : 6, 则应从一年级本科生中抽取 名学生. 5分
2. 2. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位: m), 则该几何体的体积 为 m3. 2 4 2 4 2 4 正视图 俯视图 侧视图 5分
3. 3. 设{an} 是首项为a1, 公差为−1 的等差数列, Sn 为其前n 项和. 若S1, S2, S4 成等比数列, 则a1 的值为 . 5分
4. 4. 在△ABC 中, 内角A, B, C 所对的边分别是a, b, c, 已知b −c = 1 4a, 2 sin B = 3 sin C, 则cos A 的值为 . 5分
5. 5. 在以O 为极点的极坐标系中, 圆ρ = 4 sin θ 和直线ρ sin θ = a 相交于A, . 5分
   B. 两点. 若△AOB 是等边三角形, 则a 的值为
6. 6. 已知函数f (x) = |x2 + 3x|, x ∈R. 若方程f (x) −a |x −1| = 0 恰有4 个 互异的实数根, 则实数a 的取值范围为 . 5分

解答题（分值见原卷）（共 6 题）

1. 1. 已知函数f (x) = cos x · sin ( x + π 3 ) − √ 3cos2x + √ 3 4 , x ∈R. (1) 求f (x) 的最小正周期; (2) 求f (x) 在闭区间 [ −π 4 , π 4 ] 上的最大值和最小值.
2. 2. 某大学志愿者协会有6 名男同学, 4 名女同学. 在这10 名同学中, 3 名同 学来自数学学院, 其余7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学 院. 现从这10 名同学中随机选取3 名同学, 到希望小学进行支教活动(每 位同学被选到的可能性相同). (1) 求选出的3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2) 设X 为选出的3 名同学中女同学的人数, 求随机变量X 的分布列和 数学期望. 923
3. 3. 如图, 在四棱锥P −ABCD 中, PA ⊥底面ABCD, AD ⊥AB, AB DC, AD = DC = AP = 2, AB = 1, 点E 为棱PC 的中点. (1) 证明: BE ⊥DC; (2) 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值; (3) 若F 为棱PC 上一点, 满足BF ⊥AC, 求二面角F −AB −P 的余弦 值. A B E P C D
4. 4. 设椭圆x2 a2 + y2 b2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1, F2, 右顶点为A, 上顶点为B, 已知|AB| = √ 3 2 |F1F2|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段PB 为直径的圆经过点F1, 经过原点O 的直线l 与该圆相切. 求直线l 的斜率.
5. 5. 已知q 和n 均为给定的大于1 的自然数. 设集合M = {0, 1, 2, · · · , q−1}, 集合A = {x | x = x1 + x2q + · · · + xnqn−1, xi ∈M, i = 1, 2, · · · , n}. (1) 当q = 2, n = 3 时, 用列举法表示集合A; (2) 设s, t ∈A, s = a1 + a2q + · · · + anqn−1, t = b1 + b2q + · · · + bnqn−1, 其中ai, bi ∈M, i = 1, 2, · · · , n. 证明: 若an < bn, 则s < t.
6. 6. 已知函数f (x) = x −aex (a ∈R), x ∈R, 已知函数y = f (x) 有两个零点 x1, x2, 且x1 < x2. (1) 求a 的取值范围; (2) 证明x2 x1 随着a 的减小而增大; (3) 证明x1 + x2 随着a 的减小而增大. 924

原卷配图（含真实几何/应用题图示）